Futboll & Algjebra Lineare

Kur fillon një lojë futbolli, topi qëndron në qendër të fushës dhe më pas lëviz rreth fushës për 45 minuta duke zhvendosur dhe kthyer. Në fillim të pjesës së dytë, topi është përsëri në qendër të fushës. Ne tregojmë me mjete të thjeshta të algjebrës lineare se ose një numër i pafund pikash në sipërfaqe janë gjithmonë në të njëjtën pozitë si në gjendjen origjinale ose saktësisht 2.


Para së gjithash, zhvendosjet e topit, të cilat kryhen gjatë pjesës së parë, shtohen në mënyrë të parëndësishme në vektorin zero. Prandaj, ato mund të neglizhohen. Kjo lë një numër të fundëm të rrotullimeve \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) me \(A\) ortogonale dhe \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Për çdo dy rrotullime \(A_i, A_j\):

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

si

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Kjo do të thotë që \( A_i A_j \) përsëri një rrotullim, prandaj \( A_1 ... A_n \) gjithashtu një rrotullim i vetëm.

Nëse tani \( A_1 ... A_n = E_n \) , atëherë padyshim që të gjitha pikat e sipërfaqes së topit janë saktësisht në pikën e fillimit - në rastin tjetër (më të mundshëm) vektori vetjak i \( A_1 ... A_n \) barabartë me boshtin e tij të rrotullimit vlera e veçantë \(1\) . Kjo do të thotë që pikërisht këto dy pika, të cilat shtrihen në boshtin e rrotullimit, janë hartuar në vetvete.

Mbrapa