Futbol ve Doğrusal Cebir

Bir futbol maçı başladığında, top sahanın ortasında durur ve daha sonra kayarak ve döndürülerek 45 dakika sahada hareket ettirilir. İkinci yarının başında top yine sahanın ortasındadır. Basit doğrusal cebir araçlarıyla, yüzeydeki sonsuz sayıda noktanın her zaman orijinal durumdaki ile tamamen aynı konumda olduğunu veya tam olarak 2 olduğunu gösteriyoruz.


Her şeyden önce, 1. yarıda gerçekleştirilen topun yer değiştirmeleri sıfır vektörüne önemsiz bir şekilde eklenir. Bu nedenle ihmal edilebilirler. Bu, \(A\) ortogonal ve \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) sınırlı sayıda döndürme \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Her iki dönüş için \(A_i, A_j\) geçerlidir:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

gibi

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Bu, \( A_i A_j \) yine bir dönüş \( A_i A_j \) anlamına gelir, bu nedenle \( A_1 ... A_n \) da tek bir dönüştür.

Şimdi \( A_1 ... A_n = E_n \) , o zaman açıkça topun yüzeyinin tüm noktaları tam olarak başlangıç ​​noktasındadır - diğer (daha olası) durumda \( A_1 ... A_n \) özvektörü dönme eksenine eşittir özdeğer \(1\) . Bu, tam olarak dönme ekseni üzerinde bulunan bu iki noktanın kendi üzerlerinde eşleştirildiği anlamına gelir.

Geri