Futbol ve Doğrusal Cebir

Bir futbol maçı başladığında, top sahanın ortasında durur ve daha sonra kayarak ve döndürülerek 45 dakika sahada hareket ettirilir. 2. yarının başında top yine sahanın ortasındadır. Basit doğrusal cebir araçlarıyla, yüzeydeki sonsuz sayıda noktanın her zaman orijinal haldeki ile tam olarak aynı konumda olduğunu veya tam olarak 2 olduğunu gösteriyoruz.


Her şeyden önce, 1. yarıda gerçekleştirilen topun yer değiştirmeleri sıfır vektörüne önemsiz bir şekilde eklenir. Bu nedenle ihmal edilebilirler. Bu, \(A\) ortogonal ve \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) sınırlı sayıda döndürme \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Her iki dönüş için \(A_i, A_j\) aşağıdakiler geçerlidir:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

gibi

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Bu, \( A_i A_j \) yine bir dönüş \( A_i A_j \) anlamına gelir, bu nedenle \( A_1 ... A_n \) zamanda tek bir rotasyondur.

Eğer şimdi \( A_1 ... A_n = E_n \) , açık bir şekilde topun yüzeyinin tüm noktaları tam olarak başlangıç ​​noktasındadır - diğer (daha olası) durumda \( A_1 ... A_n \) özvektörü dönme eksenine eşittir özdeğer \(1\) . Bu, dönme ekseni üzerinde bulunan bu iki noktanın tam olarak kendi üzerlerinde eşlendiği anlamına gelir.

Geri