Nalika game bal-balan diwiwiti, bal kasebut ana ing tengah lapangan banjur dipindhah ing lapangan suwene 45 menit kanthi ganti lan muter. Ing wiwitan babak kapindho, bal maneh ana ing tengah lapangan. Kita nuduhake kanthi cara aljabar linier sing gampang, yen jumlah poin tanpa wates ing permukaan mesthi padha karo posisi sing padha karo negara asline utawa persis 2.
Kaping pisanan, pamindhahan bal sing ditindakake sajrone babak 1 nambah sepele babagan vektor nol. Mula bisa diabaikan. Iki ndadekake sawetara rotasi \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) kanthi \(A\) orthogonal lan \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Kanggo saben rong rotasi \(A_i, A_j\) ditrapake:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
minangka
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Iki tegese \( A_i A_j \) maneh minangka rotasi, mula \( A_1 ... A_n \) uga muter siji.
Yen saiki \( A_1 ... A_n = E_n \) , mula kabeh titik ing ndhuwur werni persis ing titik wiwitan - ing kasus liyane (luwih mungkin) eigenvector saka \( A_1 ... A_n \) padha karo poros putarane nilai eigen \(1\) . Iki tegese sabenere poin kasebut, sing ana ing poros rotasi, dipetakan menyang awake dhewe.