Коли починається футбольний матч, м'яч лежить у центрі поля, а потім переміщується по полю протягом 45 хвилин, переміщуючи та повертаючи. На початку другого тайму м'яч знову знаходиться в центрі поля. Ми показуємо простими засобами лінійної алгебри, що або нескінченна кількість точок на поверхні завжди знаходиться в абсолютно однаковому положенні, як у вихідному стані, або рівно 2.
Перш за все, переміщення кулі, які виконуються протягом 1-го тайму, тривіально складаються з нульовим вектором. Тому ними можна знехтувати. Це залишає кінцеву кількість обертань \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) з \(A\) ортогональним та \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Для кожних двох обертань застосовується \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
як
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Це означає, що \( A_i A_j \) знову є обертанням, саме тому \( A_1 ... A_n \) також є одноразовим обертанням.
Якщо зараз \( A_1 ... A_n = E_n \) , то, очевидно, всі точки поверхні кулі знаходяться точно у вихідній точці - в іншому (більш вірогідному) випадку власний вектор \( A_1 ... A_n \) дорівнює його осі обертання власне значення \(1\) . Це означає, що саме ці дві точки, які лежать на осі обертання, нанесені на себе.