Երբ ֆուտբոլային խաղ է սկսվում, գնդակը ընկնում է դաշտի կենտրոնում, այնուհետև տեղափոխվում է դաշտի շուրջ 45 րոպե ՝ տեղափոխվելով և շրջվելով: Երկրորդ խաղակեսի սկզբում գնդակը կրկին հայտնվում է դաշտի կենտրոնում: Գծային հանրահաշվի պարզ միջոցներով ցույց ենք տալիս, որ կա՛մ մակերեսի անսահման թվով կետերը միշտ գտնվում են ճիշտ նույն դիրքում, ինչ նախնական վիճակում, կա՛մ էլ ՝ 2:
Առաջին հերթին, գնդակի տեղաշարժերը, որոնք իրականացվում են 1-ին խաղակեսի ընթացքում, չնչին վեկտորին ավելացնում են չնչին: Ուստի դրանք կարող են անտեսվել: Սա թողնում է վերջավոր թվով \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(A\) ուղղանկյունով և \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) : Յուրաքանչյուր երկու պտույտի համար կիրառվում է \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
ինչպես
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Սա նշանակում է, որ \( A_i A_j \) կրկին ռոտացիա է, որի պատճառով \( A_1 ... A_n \) նույնպես մեկ պտույտ է:
Եթե այժմ \( A_1 ... A_n = E_n \) , ապա ակնհայտորեն գնդակի մակերեսի բոլոր կետերը գտնվում են հենց \( A_1 ... A_n \) Մյուս (ավելի հավանական) դեպքում \( A_1 ... A_n \) հավասար է իր պտտման առանցքին: eigenvalue \(1\) . Սա նշանակում է, որ հենց այս երկու կետերը, որոնք ընկած են պտտման առանցքի վրա, քարտեզագրվում են իրենց վրա: