Football et algèbre linéaire

Lorsqu'un match de football commence, le ballon repose au centre du terrain et est ensuite déplacé sur le terrain pendant 45 minutes en se déplaçant et en tournant. Au début de la seconde mi-temps, le ballon est à nouveau au centre du terrain. Nous montrons avec des moyens simples d'algèbre linéaire que soit un nombre infini de points sur la surface sont toujours exactement dans la même position que dans l'état d'origine, soit exactement 2.


Tout d'abord, les déplacements de la balle, qui sont effectués pendant la 1ère mi-temps, s'additionnent trivialement au vecteur nul. Ils peuvent donc être négligés. Cela laisse un nombre fini de rotations \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) avec \(A\) orthogonal et \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Pour deux rotations \(A_i, A_j\) s'applique:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

comme

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Cela signifie que \( A_i A_j \) nouveau une rotation, c'est pourquoi \( A_1 ... A_n \) également une rotation unique.

Si maintenant \( A_1 ... A_n = E_n \) , alors évidemment tous les points de la surface de la balle sont exactement au point de départ - dans l'autre cas (plus probable) le vecteur propre de \( A_1 ... A_n \) égal à son axe de rotation la valeur propre \(1\) . Cela signifie que précisément ces deux points, qui se trouvent sur l'axe de rotation, sont mappés sur eux-mêmes.

Retour