Kiedy rozpoczyna się mecz piłki nożnej, piłka leży na środku pola, a następnie jest przesuwana po boisku przez 45 minut poprzez przesuwanie i obracanie. Na początku drugiej połowy piłka ponownie znajduje się na środku boiska. Za pomocą prostych środków algebry liniowej pokazujemy, że albo nieskończona liczba punktów na powierzchni jest zawsze dokładnie w tym samym położeniu, co w stanie pierwotnym, albo dokładnie 2.
Po pierwsze, ruchy piłki wykonane w pierwszej połowie sumują się trywialnie do wektora zerowego. Można je zatem pominąć. Pozostaje skończona liczba obrotów \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) z \(A_k\) ortogonalnym i \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Dla dowolnych dwóch obrotów \(A_i, A_j\) zachodzi następująca zależność::
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
tak jak
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Oznacza to, że \( A_i A_j \) ponownie obrotem, dlatego \( A_1 ... A_n \) również jednym obrotem.
Jeśli teraz \( A_1 ... A_n = E_n \) , to oczywiście wszystkie punkty powierzchni kuli znajdują się dokładnie w punkcie początkowym - w drugim (bardziej prawdopodobnym) przypadku wektor własny \( A_1 ... A_n \) równy jego osi obrotu wartość własna \(1\) . Oznacza to, że dokładnie te dwa punkty, które leżą na osi obrotu, są mapowane na siebie.