Saat pertandingan sepak bola dimulai, bola berada di tengah lapangan dan kemudian digerakkan mengelilingi lapangan selama 45 menit dengan cara bergeser dan berputar. Di awal babak kedua, bola kembali berada di tengah lapangan. Kami menunjukkan dengan cara sederhana aljabar linier bahwa jumlah titik tak terhingga di permukaan selalu berada pada posisi yang persis sama seperti pada keadaan semula atau tepat 2.
Pertama-tama, perpindahan bola, yang dilakukan selama babak ke-1, dijumlahkan dengan mudah ke vektor nol. Oleh karena itu, mereka dapat diabaikan. Ini menyisakan jumlah rotasi terbatas \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) dengan \(A\) ortogonal dan \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Untuk setiap dua rotasi \(A_i, A_j\) berlaku:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
sebagai
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Ini berarti bahwa \( A_i A_j \) lagi-lagi adalah rotasi, itulah sebabnya \( A_1 ... A_n \) juga merupakan rotasi tunggal.
Jika sekarang \( A_1 ... A_n = E_n \) , maka jelas semua titik permukaan bola tepat pada titik awal - dalam kasus lain (lebih mungkin) vektor eigen \( A_1 ... A_n \) sama dengan sumbu rotasinya nilai eigen \(1\) . Ini berarti bahwa secara tepat kedua titik ini, yang terletak pada sumbu rotasi, dipetakan ke dirinya sendiri.