যখন কোনও ফুটবল খেলা শুরু হয়, বলটি মাঠের কেন্দ্রে থাকে এবং পরে স্থানান্তরিত এবং ঘুরিয়ে 45 মিনিটের জন্য মাঠের চারপাশে সরানো হয়। দ্বিতীয়ার্ধের শুরুতে বলটি আবার মাঠের কেন্দ্রে। আমরা লিনিয়ার বীজগণিতের সহজ উপায়ে দেখাই যে পৃষ্ঠতলে অসীম সংখ্যক পয়েন্টগুলি সর্বদা মূল অবস্থায় যেমন ঠিক একই অবস্থানে থাকে বা ঠিক 2 হয়।
প্রথমত, বলের স্থানচ্যুতিগুলি, যা প্রথমার্ধের সময় সঞ্চালিত হয়, তুচ্ছভাবে শূন্য ভেক্টরের সাথে যুক্ত হয়। তারা তাই অবহেলিত হতে পারে। এটি \(A\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) এবং \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) সহ \(A\) \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যার ঘূর্ণন leaves \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) । প্রতি দুটি ঘূর্ণনের জন্য \(A_i, A_j\) প্রযোজ্য:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
যেমন
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
এর অর্থ হ'ল \( A_i A_j \) আবার একটি ঘূর্ণন, যার কারণেই \( A_1 ... A_n \) এছাড়াও একটি একক আবর্তন।
যদি এখন \( A_1 ... A_n = E_n \) , তবে স্পষ্টতই বলের পৃষ্ঠের সমস্ত বিন্দু হুবহু বিন্দুতে শুরু হয় - অন্য (আরও সম্ভাব্য) ক্ষেত্রে \( A_1 ... A_n \) তার আবর্তনের অক্ষের সমান হয় ইগেনভ্যালু \(1\) । এর অর্থ হ'ল এই দুটি পয়েন্টগুলি, যা ঘূর্ণনের অক্ষের উপরে থাকে, সেগুলি নিজেরাই ম্যাপ করা হয়।