Fodbold og lineær algebra

Når en fodboldkamp starter, ligger bolden midt i banen og flyttes derefter rundt i banen i 45 minutter ved at skifte og dreje. I begyndelsen af ​​anden halvdel er bolden igen midt på banen. Vi viser med enkle midler til lineær algebra, at enten et uendeligt antal punkter på overfladen altid er i nøjagtig den samme position som i den oprindelige tilstand eller nøjagtigt 2.


Først og fremmest tilføjer forskydningerne af kuglen, som udføres i løbet af 1. halvdel, trivielt til nulvektoren. De kan derfor forsømmes. Dette efterlader et endeligt antal rotationer \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) med \(A\) vinkelret og \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . For hver to rotationer \(A_i, A_j\) gælder:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

som

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Dette betyder, at \( A_i A_j \) igen er en rotation, hvorfor \( A_1 ... A_n \) også er en enkelt rotation.

Hvis nu \( A_1 ... A_n = E_n \) , så er alle punkter på boldens overflade naturligvis nøjagtigt ved startpunktet - i det andet (mere sandsynligt) tilfælde er egenvektoren for \( A_1 ... A_n \) lig med dens rotationsakse egenværdien \(1\) . Dette betyder, at netop disse to punkter, der ligger på rotationsaksen, er kortlagt på sig selv.

Tilbage