Når en fodboldkamp starter, ligger bolden midt i banen og flyttes derefter rundt i banen i 45 minutter ved at skifte og dreje. I begyndelsen af anden halvdel er bolden igen midt på banen. Vi viser med enkle midler til lineær algebra, at enten et uendeligt antal punkter på overfladen altid er i nøjagtig den samme position som i den oprindelige tilstand eller nøjagtigt 2.
For det første summerer boldens bevægelser udført i løbet af første halvleg trivielt op til nulvektoren. De kan derfor negligeres. Dette efterlader et endeligt antal rotationer \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) med \(A_k\) ortogonal og \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . For to vilkårlige rotationer \(A_i, A_j\) gælder følgende::
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
som
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Dette betyder, at \( A_i A_j \) igen er en rotation, hvorfor \( A_1 ... A_n \) også er en enkelt rotation.
Hvis nu \( A_1 ... A_n = E_n \) , så er alle punkter på boldens overflade naturligvis nøjagtigt ved startpunktet - i det andet (mere sandsynligt) tilfælde er egenvektoren for \( A_1 ... A_n \) lig med dens rotationsakse egenværdien \(1\) . Dette betyder, at netop disse to punkter, der ligger på rotationsaksen, er kortlagt på sig selv.