Cuando comienza un partido de fútbol, la pelota descansa en el centro del campo y luego se mueve alrededor del campo durante 45 minutos moviéndose y girando. Al comienzo del segundo tiempo, el balón vuelve a estar en el centro del campo. Demostramos con medios simples de álgebra lineal que o un número infinito de puntos en la superficie están siempre exactamente en la misma posición que en el estado original o exactamente 2.
En primer lugar, los desplazamientos de la pelota, que se realizan durante el 1er tiempo, se suman trivialmente al vector cero. Por tanto, pueden descuidarse. Esto deja un número finito de rotaciones \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) con \(A\) ortogonal y \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Por cada dos rotaciones se aplica \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
como
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Esto significa que \( A_i A_j \) nuevamente una rotación, por lo que \( A_1 ... A_n \) también una sola rotación.
Si ahora \( A_1 ... A_n = E_n \) , entonces obviamente todos los puntos de la superficie de la bola están exactamente en el punto de partida; en el otro caso (más probable), el vector propio de \( A_1 ... A_n \) igual a su eje de rotación el valor propio \(1\) . Esto significa que precisamente estos dos puntos, que se encuentran en el eje de rotación, se mapean sobre sí mismos.