Quando inizia una partita di calcio, la palla si trova al centro del campo e viene quindi spostata intorno al campo per 45 minuti spostandosi e girando. All'inizio del secondo tempo la palla è di nuovo al centro del campo. Mostriamo con semplici mezzi di algebra lineare che un numero infinito di punti sulla superficie sono sempre esattamente nella stessa posizione dello stato originale o esattamente 2.
Prima di tutto, gli spostamenti della palla, che vengono effettuati durante il 1 ° tempo, si sommano banalmente al vettore zero. Possono quindi essere trascurati. Questo lascia un numero finito di rotazioni \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) con \(A\) ortogonale e \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Per ogni due rotazioni si applica \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
come
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Ciò significa che \( A_i A_j \) ancora una rotazione, motivo per cui \( A_1 ... A_n \) anche una singola rotazione.
Se ora \( A_1 ... A_n = E_n \) , allora ovviamente tutti i punti della superficie della palla sono esattamente nel punto di partenza - nell'altro (più probabile) caso l'autovettore di \( A_1 ... A_n \) uguale al suo asse di rotazione l'autovalore \(1\) . Ciò significa che esattamente questi due punti, che giacciono sull'asse di rotazione, vengono mappati su se stessi.