Khi một trận đấu bóng đá bắt đầu, quả bóng nằm ở giữa sân và sau đó được di chuyển quanh sân trong 45 phút bằng cách chuyển và quay. Đầu hiệp hai, bóng lại nằm ở giữa sân. Chúng tôi chỉ ra bằng các phương tiện đơn giản của đại số tuyến tính rằng một số vô hạn các điểm trên bề mặt luôn ở cùng một vị trí chính xác như ở trạng thái ban đầu hoặc chính xác là 2.
Đầu tiên, các chuyển động của quả bóng trong nửa đầu trận đấu cộng lại thành vectơ không. Do đó, chúng có thể bị bỏ qua. Điều này để lại một số hữu hạn các phép quay \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) với \(A_k\) vuông góc và \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Đối với bất kỳ hai phép quay \(A_i, A_j\) điều sau đây đúng::
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
như
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Điều này có nghĩa là \( A_i A_j \) lại là một vòng quay, đó là lý do tại sao \( A_1 ... A_n \) cũng là một vòng quay.
Bây giờ là \( A_1 ... A_n = E_n \) , vì vậy rõ ràng là tất cả các điểm trên bề mặt của quả bóng ngay tại vị trí ban đầu - trong trường hợp khác (nhiều khả năng), hiệu số của \( A_1 ... A_n \) bằng với trục quay của nó eigenvalue \(1\) . Điều này có nghĩa là chính xác hai điểm này, nằm trên trục quay, được ánh xạ vào chính chúng.