Khi một trận đấu bóng đá bắt đầu, quả bóng nằm ở giữa sân và sau đó được di chuyển quanh sân trong 45 phút bằng cách chuyển và quay. Đầu hiệp hai, bóng lại nằm ở giữa sân. Chúng tôi chỉ ra bằng các phương tiện đơn giản của đại số tuyến tính rằng một số vô hạn các điểm trên bề mặt luôn ở cùng một vị trí chính xác như ở trạng thái ban đầu hoặc chính xác là 2.
Trước hết, sự dịch chuyển của quả bóng được thực hiện trong hiệp 1 cộng lại một cách đáng kể với vectơ 0. Do đó chúng có thể bị bỏ quên. Điều này để lại một số hữu hạn các phép quay \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) với \(A\) trực giao và \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Đối với mỗi hai lần quay \(A_i, A_j\) áp dụng:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
như
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Điều này có nghĩa là \( A_i A_j \) lại là một vòng quay, đó là lý do tại sao \( A_1 ... A_n \) cũng là một vòng quay.
Bây giờ là \( A_1 ... A_n = E_n \) , vì vậy rõ ràng là tất cả các điểm trên bề mặt của quả bóng ngay tại vị trí ban đầu - trong trường hợp khác (nhiều khả năng), hiệu số của \( A_1 ... A_n \) bằng với trục quay của nó eigenvalue \(1\) . Điều này có nghĩa là chính xác hai điểm này, nằm trên trục quay, được ánh xạ vào chính chúng.