Când începe un joc de fotbal, mingea se află în centrul terenului și este apoi mutată în jurul terenului timp de 45 de minute prin deplasare și rotire. La începutul celei de-a doua reprize, mingea este din nou în centrul terenului. Arătăm cu mijloace simple de algebră liniară că fie un număr infinit de puncte de pe suprafață sunt întotdeauna exact în aceeași poziție ca în starea inițială sau exact 2.
În primul rând, mișcările mingii efectuate în prima repriză se adună în mod trivial până la vectorul zero. Prin urmare, acestea pot fi neglijate. Aceasta lasă un număr finit de rotații \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) cu \(A_k\) ortogonale și \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Pentru oricare două rotații \(A_i, A_j\) este valabilă următoarea ecuație::
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
la fel de
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Aceasta înseamnă că \( A_i A_j \) din nou o rotație, motiv pentru care \( A_1 ... A_n \) asemenea, o singură rotație.
Dacă acum \( A_1 ... A_n = E_n \) , atunci în mod evident toate punctele suprafeței mingii sunt exact la punctul de plecare - în celălalt caz (mai probabil) vectorul propriu al lui \( A_1 ... A_n \) egal cu axa sa de rotație valoarea proprie \(1\) . Aceasta înseamnă că exact aceste două puncte, care se află pe axa de rotație, sunt mapate pe ele însele.