Când începe un joc de fotbal, mingea se află în centrul terenului și este apoi mutată în jurul terenului timp de 45 de minute prin deplasare și rotire. La începutul celei de-a doua reprize, mingea este din nou în centrul terenului. Arătăm cu mijloace simple de algebră liniară că fie un număr infinit de puncte de pe suprafață sunt întotdeauna exact în aceeași poziție ca în starea inițială sau exact 2.
În primul rând, deplasările mingii, care se efectuează în timpul primei reprize, se adaugă banal la vectorul zero. Prin urmare, ele pot fi neglijate. Acest lucru lasă un număr finit de rotații \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) cu \(A\) ortogonal și \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Pentru fiecare două rotații se aplică \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
la fel de
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Aceasta înseamnă că \( A_i A_j \) din nou o rotație, motiv pentru care \( A_1 ... A_n \) asemenea, o singură rotație.
Dacă acum \( A_1 ... A_n = E_n \) , atunci în mod evident toate punctele suprafeței mingii sunt exact la punctul de plecare - în celălalt caz (mai probabil) vectorul propriu al lui \( A_1 ... A_n \) egal cu axa sa de rotație valoarea proprie \(1\) . Aceasta înseamnă că exact aceste două puncte, care se află pe axa de rotație, sunt mapate pe ele însele.