När ett fotbollsmatch startar ligger bollen i mitten av fältet och flyttas sedan runt fältet i 45 minuter genom att flytta och vrida. I början av andra halvlek är bollen igen i mitten av planen. Vi visar med enkla medel för linjär algebra att antingen ett oändligt antal punkter på ytan alltid är i exakt samma position som i det ursprungliga tillståndet eller exakt 2.
Först och främst, förskjutningarna av kulan som utförs under första halvåret läggs trivialt till nollvektorn. De kan därför försummas. Detta lämnar ett begränsat antal rotationer \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) med \(A\) ortogonal och \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . För varannan varv \(A_i, A_j\) gäller:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
som
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Detta betyder att \( A_i A_j \) åter är en rotation, varför \( A_1 ... A_n \) en enda rotation.
Om nu \( A_1 ... A_n = E_n \) , så är naturligtvis alla punkter på bollytan exakt vid startpunkten - i det andra (mer troliga fallet) är egenvektorn för \( A_1 ... A_n \) lika med dess rotationsaxel egenvärdet \(1\) . Detta innebär att just dessa två punkter, som ligger på rotationsaxeln, kartläggs på sig själva.