Когда начинается футбольный матч, мяч находится в центре поля, а затем перемещается по полю в течение 45 минут, перемещаясь и поворачиваясь. В начале второго тайма мяч снова оказывается в центре поля. С помощью простых средств линейной алгебры мы покажем, что либо бесконечное количество точек на поверхности всегда точно в том же положении, что и в исходном состоянии, либо ровно 2.
Прежде всего, перемещения мяча, которые выполняются в течение 1-го тайма, тривиально складываются в нулевой вектор. Поэтому ими можно пренебречь. Это оставляет конечное число вращений \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) с \(A\) ортогональными и \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Для каждых двух вращений применяется \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
в качестве
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Это означает, что \( A_i A_j \) снова является вращением, поэтому \( A_1 ... A_n \) также является одиночным вращением.
Если теперь \( A_1 ... A_n = E_n \) , то очевидно, что все точки поверхности шара находятся точно в начальной точке - в другом (более вероятном) случае собственный вектор \( A_1 ... A_n \) равен его оси вращения. собственное значение \(1\) . Это означает, что именно эти две точки, лежащие на оси вращения, отображаются сами на себя.