जब एक फुटबॉल का खेल शुरू होता है, तो गेंद मैदान के केंद्र में होती है और फिर 45 मिनट के लिए स्थानांतरित करके और मोड़कर मैदान के चारों ओर ले जाया जाता है। दूसरी छमाही की शुरुआत में, गेंद फिर से मैदान के केंद्र पर होती है। हम रैखिक बीजगणित के सरल साधनों के साथ दिखाते हैं कि या तो सतह पर अनंत संख्या में हमेशा एक ही स्थिति होती है जैसे कि मूल स्थिति में या ठीक 2।
सबसे पहले, पहली छमाही के दौरान होने वाले गेंद के विस्थापन को तुच्छ रूप से शून्य वेक्टर में जोड़ा जाता है। इसलिए उनकी उपेक्षा की जा सकती है. यह \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) को \(A_k\) ऑर्थोगोनल और \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) के साथ घुमावों की एक सीमित संख्या छोड़ता है। प्रत्येक दो घूर्णन के लिए \(A_i, A_j\) लागू होता है:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
जैसा
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
इसका मतलब यह है कि \( A_i A_j \) फिर से एक रोटेशन है, यही कारण है कि \( A_1 ... A_n \) भी एक रोटेशन है।
यदि अब \( A_1 ... A_n = E_n \) , तो जाहिर है कि गेंद की सतह के सभी बिंदु बिल्कुल शुरुआती बिंदु पर हैं - दूसरे (अधिक संभावित) मामले में eigenvector of \( A_1 ... A_n \) के रोटेशन की धुरी के बराबर है eigenvalue \(1\) । इसका मतलब है कि वास्तव में ये दो बिंदु, जो रोटेशन की धुरी पर स्थित हैं, स्वयं पर मैप किए जाते हैं।