Футбол оюну башталганда, топ талаанын так ортосунда жатат, андан кийин жылышуу жана бурулуу менен 45 мүнөт бою талаа айланасында айланып өтөт. Экинчи таймдын башында топ кайрадан талаанын борборунда турат. Сызыктуу алгебранын жөнөкөй каражаттары менен бетиндеги чексиз көп чекиттер ар дайым баштапкы абалдагыдай же так 2 болгон абалда экендигин көрсөтөбүз.
Баарынан мурда, 1-таймдын аралыгында жүргүзүлгөн топтун жылышуулары нөлдүк векторго тривиалдуу кошулат. Ошондуктан аларга көңүл бурбай коюуга болот. Ушуну менен \(A\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) ортогоналдуу жана \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(A\) \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Ар бир эки айлануу үчүн \(A_i, A_j\) колдонулат:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
катары
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Демек, \( A_i A_j \) дагы бир айлануу болуп саналат, ошондуктан \( A_1 ... A_n \) дагы бир айлануу болуп саналат.
Эгер азыр \( A_1 ... A_n = E_n \) , анда, албетте, топтун бетинин бардык чекиттери так баштапкы чекитте турат - башка учурда (мүмкүн), \( A_1 ... A_n \) өздүк вектору анын айлануу огуна барабар. өздүк нарк \(1\) . Демек, айлануу огунда жаткан ушул эки чекиттин өзүнө картага түшүрүлөт.