Amikor egy futballmeccs elkezdődik, a labda a pálya közepén fekszik, majd 45 percig mozgatja a pályán eltolással és fordítással. A második félidő elején a labda ismét a pálya közepén van. A lineáris algebra egyszerű eszközeivel megmutatjuk, hogy vagy a végtelen számú pont a felületen mindig pontosan ugyanabban a helyzetben van, mint az eredeti állapotban, vagy pontosan 2.
Először is, az 1. félidőben végrehajtott gömbmozgások triviálisan összeadódnak a nulla vektorral. Ezért elhanyagolhatók. Ez véges számú forgatást eredményez \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) \(A\) ortogonális és \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Minden két forgatásra \(A_i, A_j\) érvényes:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
mint
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Ez azt jelenti, hogy az \( A_i A_j \) ismét egy forgatás, ezért a \( A_1 ... A_n \) is egyetlen forgatás.
Ha most \( A_1 ... A_n = E_n \) , akkor nyilvánvalóan a gömb felületének minden pontja pontosan a kiindulóponton van - a másik (valószínűbb) esetben az \( A_1 ... A_n \) sajátvektora megegyezik a forgástengelyével a sajátérték \(1\) . Ez azt jelenti, hogy pontosan ez a két pont, amely a forgástengelyen fekszik, önmagukra van feltérképezve.