Wanneer een voetbalwedstrijd begint, ligt de bal in het midden van het veld en wordt vervolgens gedurende 45 minuten over het veld verplaatst door te verschuiven en te draaien. Aan het begin van de tweede helft staat de bal weer in het midden van het veld. We laten met eenvoudige middelen van lineaire algebra zien dat óf een oneindig aantal punten op het oppervlak zich altijd op exact dezelfde positie bevindt als in de oorspronkelijke staat, óf precies 2.
Ten eerste tellen de bewegingen van de bal tijdens de eerste helft triviaal op tot de nulvector. Deze kunnen daarom worden verwaarloosd. Dit laat een eindig aantal rotaties \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) waarbij \(A_k\) orthogonaal is en \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Voor twee willekeurige rotaties \(A_i, A_j\) geldt het volgende::
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
net zo
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Dit betekent dat \( A_i A_j \) weer een rotatie is, daarom is \( A_1 ... A_n \) ook een enkele rotatie.
Als nu \( A_1 ... A_n = E_n \) , dan bevinden alle punten van het oppervlak van de bal zich uiteraard precies op het startpunt - in het andere (waarschijnlijkere) geval is de eigenvector van \( A_1 ... A_n \) gelijk aan zijn rotatieas de eigenwaarde \(1\) . Dit betekent dat precies deze twee punten, die op de rotatie-as liggen, op zichzelf worden afgebeeld.