Wanneer een voetbalwedstrijd begint, ligt de bal in het midden van het veld en wordt vervolgens gedurende 45 minuten over het veld verplaatst door te verschuiven en te draaien. Aan het begin van de tweede helft staat de bal weer in het midden van het veld. We laten met eenvoudige middelen van lineaire algebra zien dat óf een oneindig aantal punten op het oppervlak zich altijd op exact dezelfde positie bevindt als in de oorspronkelijke staat, óf precies 2.
Allereerst tellen de verplaatsingen van de bal, die tijdens de eerste helft worden uitgevoerd, triviaal op tot de nulvector. Ze kunnen daarom worden verwaarloosd. Dit laat een eindig aantal rotaties \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) met \(A\) orthogonaal en \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Voor elke twee rotaties geldt \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
net zo
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Dit betekent dat \( A_i A_j \) weer een rotatie is, daarom is \( A_1 ... A_n \) ook een enkele rotatie.
Als nu \( A_1 ... A_n = E_n \) , dan bevinden alle punten van het oppervlak van de bal zich uiteraard precies op het startpunt - in het andere (waarschijnlijkere) geval is de eigenvector van \( A_1 ... A_n \) gelijk aan zijn rotatieas de eigenwaarde \(1\) . Dit betekent dat precies deze twee punten, die op de rotatie-as liggen, op zichzelf worden afgebeeld.