Kiam futbala ludo komenciĝas, la pilko kuŝas en la centro de la kampo kaj tiam moviĝas ĉirkaŭ la kampo dum 45 minutoj per ŝoviĝo kaj turniĝo. Komence de la dua duono la pilko estas denove sur la kampa centro. Ni montras per simplaj rimedoj de lineara algebro, ke aŭ senfina nombro da punktoj sur la surfaco estas ĉiam ĝuste en la sama pozicio kiel en la originala stato aŭ ĝuste 2.
Unue la movoj de la pilko efektivigitaj dum la 1-a duono sumiĝas al la nula vektoro, banale. Oni do povas neglekti ilin. Ĉi tio lasas finian nombron da rotacioj \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) kun \(A\) ortogonala kaj \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Por ĉiu du rotacioj validas \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
kiel
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Ĉi tio signifas, ke \( A_i A_j \) denove estas rotacio, tial \( A_1 ... A_n \) ankaŭ ununura rotacio.
Se nun \( A_1 ... A_n = E_n \) , tiam evidente ĉiuj punktoj de la surfaco de la pilko estas ĝuste ĉe la deirpunkto - en la alia (pli verŝajna) kazo la propra vektoro de \( A_1 ... A_n \) egalas al sia rotacia akso la propra valoro \(1\) . Ĉi tio signifas, ke ĝuste ĉi tiuj du punktoj, kiuj kuŝas sur la rotacia akso, estas mapitaj sur si mem.