足球与线性代数

足球比赛开始时,球位于场地中央,然后通过移动和转弯在场地周围移动45分钟。 在下半场开始时,球再次位于场地中央。 我们用线性代数的简单方法表明,表面上的无数个点总是与原始状态完全相同或完全等于2。


首先,在上半部分进行的球位移将零向量相加。 因此可以忽略它们。 这样就留下了有限的旋转数\(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\)具有正交的\(A\)\(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) 。 每两转\(A_i, A_j\)适用:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

这意味着\( A_i A_j \)一个旋转,这就是\( A_1 ... A_n \)也是一个旋转的原因。

如果现在\( A_1 ... A_n = E_n \) ,那么显然球表面的所有点都精确地位于起点-在另一种(更有可能的情况下) \( A_1 ... A_n \)的特征向量等于其旋转轴特征值\(1\) 。 这就是说,位于旋转轴上的这两个点正好映射到它们自己上。

背部