足球比赛开始时，球位于场地中央，然后通过移动和转弯在场地周围移动45分钟。 在下半场开始时，球再次位于场地中央。 我们用线性代数的简单方法表明，表面上的无数个点总是与原始状态完全相同或完全等于2。
首先，在上半部分进行的球位移将零向量相加。 因此可以忽略它们。 这样就留下了有限的旋转数\(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\)具有正交的\(A\)和\(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) 。 每两转\(A_i, A_j\)适用:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
如
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
这意味着\( A_i A_j \)一个旋转，这就是\( A_1 ... A_n \)也是一个旋转的原因。
如果现在\( A_1 ... A_n = E_n \) ，那么显然球表面的所有点都精确地位于起点-在另一种（更有可能的情况下） \( A_1 ... A_n \)的特征向量等于其旋转轴特征值\(1\) 。 这就是说，位于旋转轴上的这两个点正好映射到它们自己上。