عندما تبدأ لعبة كرة القدم ، تقع الكرة في وسط الملعب ثم يتم تحريكها في جميع أنحاء الملعب لمدة 45 دقيقة عن طريق التبديل والالتفاف. في بداية الشوط الثاني ، تكون الكرة مرة أخرى في منتصف الملعب. نوضح بوسائل بسيطة من الجبر الخطي أن إما عددًا لا نهائيًا من النقاط على السطح تكون دائمًا في نفس الموضع تمامًا كما في الحالة الأصلية أو 2 بالضبط.
أولاً، إن إزاحات الكرة التي تحدث خلال الشوط الأول تضيف بشكل تافه إلى المتجه الصفري. ولذلك يمكن إهمالهم. هذا يترك عددًا محدودًا من الدورات \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) مع \(A_k\) متعامد و \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . لكل دورتين يتم تطبيق \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
مثل
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
هذا يعني أن \( A_i A_j \) مرة أخرى دوران ، ولهذا السبب \( A_1 ... A_n \) أيضًا دوران واحد.
إذا كان الآن \( A_1 ... A_n = E_n \) ، فمن الواضح أن جميع نقاط سطح الكرة هي بالضبط عند نقطة البداية - في الحالة الأخرى (الأكثر احتمالية) يكون \( A_1 ... A_n \) الذاتي لـ \( A_1 ... A_n \) مساويًا لمحور الدوران الخاص بها القيمة الذاتية \(1\) . هذا يعني أن هاتين النقطتين ، اللتين تقعان على محور الدوران ، ترسمان على أنفسهما.