Όταν ξεκινά ένα παιχνίδι ποδοσφαίρου, η μπάλα βρίσκεται στο κέντρο του γηπέδου και στη συνέχεια μετακινείται γύρω από το γήπεδο για 45 λεπτά με στροφή και στροφή. Στην αρχή του δεύτερου ημιχρόνου, η μπάλα βρίσκεται και πάλι στο κέντρο του γηπέδου. Δείχνουμε με απλά μέσα γραμμικής άλγεβρας ότι είτε ένας άπειρος αριθμός σημείων στην επιφάνεια είναι πάντα στην ίδια ακριβώς θέση όπως στην αρχική κατάσταση ή ακριβώς 2.
Πρώτα απ 'όλα, οι μετατοπίσεις της μπάλας, οι οποίες πραγματοποιούνται κατά το 1ο ημίχρονο, προσθέτουν ασήμαντα στο μηδέν διάνυσμα. Μπορούν επομένως να παραμεληθούν. Αυτό αφήνει έναν πεπερασμένο αριθμό περιστροφών \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) με \(A\) ορθογώνιο και \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Ισχύει για κάθε δύο περιστροφές \(A_i, A_j\):
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
όπως και
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Αυτό σημαίνει ότι \( A_i A_j \) και πάλι μια περιστροφή, γι 'αυτό και το \( A_1 ... A_n \) επίσης μία μόνο περιστροφή.
Εάν τώρα \( A_1 ... A_n = E_n \) , τότε προφανώς όλα τα σημεία της επιφάνειας της μπάλας βρίσκονται ακριβώς στο σημείο εκκίνησης - στην άλλη (πιο πιθανή) περίπτωση, ο ιδιοδιανυστήρας του \( A_1 ... A_n \) ίσος με τον άξονα περιστροφής του η ιδιοτιμή \(1\) . Αυτό σημαίνει ότι ακριβώς αυτά τα δύο σημεία, που βρίσκονται στον άξονα περιστροφής, χαρτογραφούνται πάνω τους.