ஒரு கால்பந்து விளையாட்டு தொடங்கும் போது, பந்து களத்தின் மையத்தில் அமைந்துள்ளது, பின்னர் 45 நிமிடங்களுக்கு மாற்றுவதன் மூலம் மற்றும் திருப்புவதன் மூலம் களத்தை சுற்றி நகர்த்தப்படுகிறது. இரண்டாவது பாதியின் தொடக்கத்தில் பந்து மீண்டும் களத்தின் மையத்தில் உள்ளது. நேரியல் இயற்கணிதத்தின் எளிய வழிமுறையுடன் நாம் காண்பிக்கிறோம், மேற்பரப்பில் எண்ணற்ற புள்ளிகள் எப்போதும் அசல் நிலையில் அல்லது சரியாக 2 நிலையில் இருக்கும்.
முதலாவதாக, முதல் பாதியின் போது மேற்கொள்ளப்படும் பந்தின் இடப்பெயர்வுகள் பூஜ்ஜிய திசையனுடன் அற்பமாக சேர்க்கப்படுகின்றன. எனவே அவை புறக்கணிக்கப்படலாம். இது \(A\) ஆர்த்தோகனல் மற்றும் \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) with, உடன் \(A\) \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) வரையறுக்கப்பட்ட சுழற்சிகளை \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . ஒவ்வொரு இரண்டு சுழற்சிகளுக்கும் \(A_i, A_j\) பொருந்தும்:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
என
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
இதன் பொருள் \( A_i A_j \) மீண்டும் ஒரு சுழற்சி, அதனால்தான் \( A_1 ... A_n \) ஒரு ஒற்றை சுழற்சி ஆகும்.
இப்போது \( A_1 ... A_n = E_n \) , வெளிப்படையாக பந்தின் மேற்பரப்பின் அனைத்து புள்ளிகளும் தொடக்க புள்ளியில் தான் உள்ளன - மற்றொன்று (மிகவும் சாத்தியமான) வழக்கில் \( A_1 ... A_n \) அதன் சுழற்சியின் அச்சுக்கு சமம் eigenvalue \(1\) . இதன் பொருள் சுழற்சியின் அச்சில் இருக்கும் இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் தங்களுக்குள் பொருத்தப்பட்டுள்ளன.