Semasa permainan bola sepak dimulakan, bola terletak di tengah padang dan kemudian digerakkan di sekitar lapangan selama 45 minit dengan beralih dan berpusing. Pada awal babak kedua, bola kembali berada di tengah padang. Kami menunjukkan dengan kaedah mudah aljabar linear bahawa bilangan titik yang tidak terhingga di permukaan selalu berada dalam kedudukan yang sama seperti keadaan asal atau tepat 2.
Pertama sekali, perpindahan bola, yang dilakukan pada babak pertama, menambah sedikit ke vektor sifar. Oleh itu, mereka boleh diabaikan. Ini meninggalkan bilangan putaran yang terhad \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) dengan \(A\) ortogonal dan \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . Untuk setiap dua putaran \(A_i, A_j\) berlaku:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
sebagai
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
Ini bermaksud bahawa \( A_i A_j \) sekali lagi merupakan putaran, sebab itulah \( A_1 ... A_n \) juga satu putaran.
Sekiranya sekarang \( A_1 ... A_n = E_n \) , maka jelas semua titik permukaan bola tepat pada titik permulaan - dalam kes lain (lebih besar kemungkinan) vektor eigen \( A_1 ... A_n \) sama dengan paksi putarannya nilai eigen \(1\) . Ini bermaksud bahawa tepat kedua titik ini, yang terletak pada paksi putaran, dipetakan pada diri mereka sendiri.