فوتبال و جبر خطی

هنگامی که یک بازی فوتبال شروع می شود ، توپ در مرکز زمین قرار دارد و سپس با تغییر و چرخش به مدت 45 دقیقه در اطراف زمین حرکت می کند. در ابتدای نیمه دوم توپ دوباره در مرکز زمین قرار دارد. ما با استفاده از ابزارهای ساده جبر خطی نشان می دهیم که یا تعداد نامحدودی از نقاط روی سطح ، همیشه دقیقاً در همان وضعیت اولیه یا دقیقاً 2 قرار دارند.


اول از همه ، جابجایی های توپی که در نیمه اول انجام می شود ، به طور برتری به بردار صفر اضافه می شود. بنابراین می توان آنها را نادیده گرفت. این برگ یک تعداد متناهی از چرخش \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) با \(A\) متعامد و \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) . برای هر دو چرخش \(A_i, A_j\) اعمال می شود:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

مانند

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

این بدان معنی است که \( A_i A_j \) دوباره یک چرخش است ، به همین دلیل \( A_1 ... A_n \) نیز یک چرخش منفرد است.

اگر اکنون \( A_1 ... A_n = E_n \) ، بدیهی است که تمام نقاط سطح توپ دقیقاً در نقطه شروع قرار دارند - در حالت دیگر (با احتمال بیشتر) بردار ویژه \( A_1 ... A_n \) برابر با محور چرخش آن است مقدار ویژه \(1\) . این بدان معناست که این دو نقطه که در محور چرخش قرار دارند ، بر روی خود نقشه برداری می شوند.

بازگشت