サッカーの試合が始まると、ボールはフィールドの中央に置かれ、シフトとターンによってフィールドの周りを45分間移動します。 後半の初めに、ボールは再びフィールドの中央にあります。 線形代数の簡単な方法で、サーフェス上の無限の数のポイントが常に元の状態とまったく同じ位置にあるか、正確に2つあることを示します。
まず、前半に行われるボールの変位は、ゼロベクトルに自明に加算されます。 したがって、それらは無視することができます。 これにより、有限数の回転\(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\)が\(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) 、 \(A\)直交および\(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\) 。 2回転ごとに\(A_i, A_j\)適用されます:
$$ (A_i A_j)^T (A_i A_j) = A_j^T A_i^T A_i A_j = A_j^T (A_i^T A_i) A_j = A_j^T E_3 A_j = A_j^T A_j = E_3 $$
なので
$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$
これは、 \( A_i A_j \)再び1回転であることを意味します。そのため、 \( A_1 ... A_n \)も1回転です。
ここで\( A_1 ... A_n = E_n \)場合、明らかにボールの表面のすべての点が正確に開始点にあります-他の（より可能性の高い）場合、 \( A_1 ... A_n \)の固有ベクトルはその回転軸に等しくなります固有値\(1\) 。 これは、回転軸上にあるこれら2つのポイントが正確にマッピングされることを意味します。