Fußball & Lineare Algebra

Beim Anpfiff eines Fußballspiels liegt der Ball auf dem Mittelpunkt des Feldes und wird dann 45 Minuten lang durch Verschiebungen und Drehungen über den Platz bewegt. Zu Beginn der 2. Halbzeit liegt der Ball erneut auf dem Mittelpunkt des Spielfeldes. Wir zeigen mit einfachen Mitteln der linearen Algebra, dass dann entweder stets unendlich viele Punkte der Oberfläche an exakt derselben Position sind wie im Ursprungszustand oder genau 2.


Zunächst addieren sich die Verschiebungen des Balles, die während der 1. Halbzeit ausgeführt werden, trivialerweise zum Nullvektor. Sie können daher vernachlässigt werden. Es verbleiben damit endlich viele Drehungen \(A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) mit \(A\) orthogonal und \(\det(A_k) = 1 \,\, \forall \,\, k \in \{1,...,n\}\). Für je zwei Drehungen \(A_i, A_j\) gilt:

$$ (A_i A_j)^T  (A_i A_j) = A_j^T   A_i^T   A_i   A_j = A_j^T (A_i^T   A_i)   A_j = A_j^T   E_3   A_j = A_j^T   A_j = E_3 $$

sowie

$$ \det(A_i A_j) = \det(A_i) \cdot \det(A_j)=1 \cdot 1 = 1. $$

Damit handelt es sich bei \( A_i A_j \) erneut um eine Drehung, weshalb \( A_1 ... A_n \) ebenso eine einzige Drehung ist.

Ist nun \( A_1 ... A_n = E_n \), so sind offensichtlich alle Punkte der Oberfläche des Balles genau am Anfangsort – im anderen (wahrscheinlicheren) Fall ist der Eigenvektor von \( A_1 ... A_n \) gleich dessen Drehachse mit dem Eigenwert \(1\). Damit werden genau diese beiden Punkte, die auf der Drehachse liegen, auf sich selbst abgebildet.

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