Kur Kurt Gödel publikoi Teoremat e tij të famshme të Papërfundësisë në 1931, ajo tronditi bazat e logjikës matematikore: ai hodhi poshtë se të gjitha aksiomat që mund të vendosen si një bazë e mundshme janë në mënyrë të pashmangshme të paplota për të provuar të gjitha thëniet rreth numrave - dhe shkatërroi atë Dreamndrra e Hilbertit për të provuar qëndrueshmërinë e teorisë matematikore.
Futja e numrave Gödel (harta unike e formulave në numrat natyrorë) dhe diagonalizimi (zëvendësimi i ndryshores së lirë në funksione me numrin e tyre përkatës Gödel) janë dy koncepte qendrore që Gödel prezanton në provën e tij. Prova vendimtare në të cilën Gödel kombinon këto koncepte mund të shkruhet si më poshtë:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Meqenëse \(P(p)\) nuk mund të jetë false (pasi që përndryshe do të ishte e provueshme dhe për këtë arsye e vërtetë), \(P(p)\) vërtetë dhe për këtë arsye jo e provueshme. Kështu që ekziston gjithmonë një fjali e vërtetë në një gjuhë (me çfarëdo zgjedhje aksiomash) që nuk mund të vërtetohet. Këtu \(g\) Gödelization, \(p\) numri Gödel i kallëzuesit \(P\) , i cili është arketipi plotësues \(\overline{B}^*\) i \(B\) (bashkësia e të gjitha Numrat Godel të të gjitha fjalive të provueshme) nën funksionin diagonal \(d\) .
Për lexime të mëtejshme ne rekomandojmë botimin e Gödel më 1931 dhe artikullin e lexuar mirë nga Stepan Parunashvili . Përveç teoremave të paplotësisë, Gödel bëri edhe arritje të tjera novatore, duke përfshirë pakundërshtimin e hipotezës së vazhdueshme të Cantor dhe provën ontologjike të Zotit në gjuhën e logjikës modale.