Lorsque Kurt Gödel a publié ses fameux théorèmes d'incomplétude en 1931, cela a ébranlé les fondements de la logique mathématique: il a réfuté que tous les axiomes qui peuvent être établis comme base possible sont inévitablement incomplets afin de prouver toutes les déclarations sur les nombres - et détruit cela Le rêve de Hilbert de prouver la cohérence de la théorie mathématique.
L'introduction des nombres de Gödel (la mise en correspondance sans ambiguïté des formules en nombres naturels) et la diagonalisation (le remplacement de la variable libre dans les fonctions par leur nombre de Gödel respectif) sont deux concepts centraux que Gödel introduit dans sa démonstration. La preuve décisive dans laquelle Gödel combine ces concepts peut être écrite comme suit:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Puisque \(P(p)\) ne peut pas être faux (car il serait autrement prouvable et donc vrai), \(P(p)\) vrai et donc non prouvable. Ainsi, il y a toujours une phrase vraie dans une langue (avec un choix d'axiomes) qui ne peut être prouvée. Ici \(g\) la Gödelization, \(p\) le numéro de Gödel du prédicat \(P\) , qui est l'archétype complémentaire \(\overline{B}^*\) de \(B\) (l'ensemble de tous Nombres de Godel de toutes les propositions prouvables) sous la fonction diagonale \(d\) .
Pour plus d'informations, nous recommandons la publication de Gödel de 1931 et l'article bien lu de Stepan Parunashvili . En plus des théorèmes d'incomplétude, Gödel a réalisé d'autres réalisations révolutionnaires, notamment l'irréfutabilité de l' hypothèse du continuum de Cantor et la preuve ontologique de Dieu dans le langage de la logique modale.