১৯৩৩ সালে যখন কার্ট গুডেল তাঁর বিখ্যাত অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য প্রকাশ করেছিলেন, তখন এটি গাণিতিক যুক্তির ভিত্তি কাঁপিয়ে দিয়েছিল: তিনি অস্বীকার করেছিলেন যে সম্ভাব্য ভিত্তি হিসাবে স্থাপন করা যেতে পারে এমন সমস্ত অক্ষরেখা সংখ্যার সমস্ত বিবৃতি প্রমাণ করার জন্য অনিবার্যভাবে অসম্পূর্ণ - এবং ধ্বংস হয়েছে যে গাণিতিক তত্ত্বের ধারাবাহিকতা প্রমাণ করার হিলবার্টের স্বপ্ন।
গোডেল সংখ্যা (সূত্রসমূহকে স্বাভাবিক সংখ্যায় রূপান্তরের অনন্য পদ্ধতি) এবং ডায়াগোনালাইজেশন (ফাংশনের মুক্ত চলককে তার নিজ নিজ গোডেল সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপন) হলো দুটি কেন্দ্রীয় ধারণা যা গোডেল তাঁর প্রমাণে প্রবর্তন করেন। যে গুরুত্বপূর্ণ প্রমাণ পদ্ধতিতে গোডেল এই ধারণাগুলোকে একত্রিত করেছেন, তা নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে।:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
যেহেতু \(P(p)\) মিথ্যা হতে পারে না (যেহেতু এটি অন্যথায় প্রমাণযোগ্য এবং তাই সত্য), \(P(p)\) সত্য এবং তাই প্রমাণযোগ্য নয়। সুতরাং একটি ভাষায় সর্বদা একটি সত্য বাক্য থাকে (কোনও ধরণের পছন্দসহ) যা প্রমাণিত হতে পারে না। এখানে \(g\) Gödelization, \(p\) সম্পৃক্ত গোডেলের সংখ্যা \(P\) , যা পরিপূরক আদিরূপ হয় \(\overline{B}^*\) এর \(B\) (সব সেট তির্যক ক্রিয়াকলাপ under \(d\) অধীনে সমস্ত প্রমাণযোগ্য প্রস্তাবগুলির গোডেল সংখ্যা \(d\) ।
আরও পড়ার জন্য গোডেলের ১৯৩১ সালের প্রকাশনা এবং স্টেপান পারুনাশভিলির অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ প্রবন্ধটি পড়ার সুপারিশ করা হচ্ছে। অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যগুলো ছাড়াও গোডেল অন্যান্য যুগান্তকারী অবদান রেখেছিলেন, যার মধ্যে রয়েছে ক্যান্টরের কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিসের অখণ্ডনীয়তা এবং মোডাল লজিকের ভাষায় ঈশ্বরের অস্তিত্বের পক্ষে সত্তাতাত্ত্বিক যুক্তি ।