১৯৩৩ সালে যখন কার্ট গুডেল তাঁর বিখ্যাত অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য প্রকাশ করেছিলেন, তখন এটি গাণিতিক যুক্তির ভিত্তি কাঁপিয়ে দিয়েছিল: তিনি অস্বীকার করেছিলেন যে সম্ভাব্য ভিত্তি হিসাবে স্থাপন করা যেতে পারে এমন সমস্ত অক্ষরেখা সংখ্যার সমস্ত বিবৃতি প্রমাণ করার জন্য অনিবার্যভাবে অসম্পূর্ণ - এবং ধ্বংস হয়েছে যে গাণিতিক তত্ত্বের ধারাবাহিকতা প্রমাণ করার হিলবার্টের স্বপ্ন।
গডেল সংখ্যা (প্রাকৃতিক সংখ্যার সূত্রগুলির দ্ব্যর্থহীন ম্যাপিং) এবং তির্যককরণ (তাদের নিজ নিজ গডেল সংখ্যাগুলির সাথে ফাংশনগুলিতে ফ্রি ভেরিয়েবলগুলির প্রতিস্থাপন) দুটি কেন্দ্রীয় ধারণা যা গডেল তার প্রমাণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। গডেল এই ধারণাগুলির সংমিশ্রণকারী যে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য প্রমাণ তা নীচে লেখা যেতে পারে:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
যেহেতু \(P(p)\) মিথ্যা হতে পারে না (যেহেতু এটি অন্যথায় প্রমাণযোগ্য এবং তাই সত্য), \(P(p)\) সত্য এবং তাই প্রমাণযোগ্য নয়। সুতরাং একটি ভাষায় সর্বদা একটি সত্য বাক্য থাকে (কোনও ধরণের পছন্দসহ) যা প্রমাণিত হতে পারে না। এখানে \(g\) Gödelization, \(p\) সম্পৃক্ত গোডেলের সংখ্যা \(P\) , যা পরিপূরক আদিরূপ হয় \(\overline{B}^*\) এর \(B\) (সব সেট তির্যক ক্রিয়াকলাপ under \(d\) অধীনে সমস্ত প্রমাণযোগ্য প্রস্তাবগুলির গোডেল সংখ্যা \(d\) ।
আরও পড়ার জন্য আমরা গডেলের 1931 প্রকাশনা এবং স্টেপান পারুনাশভিলির সু-পঠিত নিবন্ধটি সুপারিশ করি । অসম্পূর্ণতার তত্ত্বগুলি ছাড়াও, গডেল ক্যান্টোরের ধারাবাহিক হাইপোথিসিসের অকাট্যতা এবং মডেল লজিকের ভাষায় Godশ্বরের অ্যান্টোলজিকাল প্রমাণ সহ অন্যান্য যুগোপযোগী সাফল্য অর্জন করেছিলেন।