Коли Курт Гедель опублікував свої знамениті теореми неповноти в 1931 році, це похитнуло основи математичної логіки: він спростував, що всі аксіоми, які можна встановити як можливу основу, є неминуче неповними, щоб довести всі твердження про числа - і знищив це Мрія Гільберта довести узгодженість математичної теорії.
Введення чисел Геделя (однозначне відображення формул у натуральні числа) та діагоналізація (заміна вільної змінної у функціях відповідним числом Геделя) – це дві центральні концепції, які Гедель вводить у своєму доказі. Ключову ідею доказу, в якій Гедель поєднує ці концепції, можна записати наступним чином.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Оскільки \(P(p)\) не може бути хибним (оскільки воно в іншому випадку було б доказовим, а отже істинним), \(P(p)\) істинним, а отже, не доказуваним. Таким чином, у мові завжди є істинне речення (з будь-яким вибором аксіом), яке неможливо довести. \(g\) це геделізація, \(p\) число Геделя з предикатом \(P\) , який є додатковим архетипом \(\overline{B}^*\) з \(B\) (сукупність усіх Числа Годеля всіх доказуваних тверджень) за діагональною функцією \(d\) .
Для подальшого читання рекомендується публікація Геделя 1931 року та прониклива стаття Степана Парунашвілі . Окрім теорем про неповноту, Гедель зробив інші новаторські внески, включаючи незаперечність гіпотези континууму Кантора та онтологічний аргумент існування Бога мовою модальної логіки.