Ketika Kurt Gödel menerbitkan Teorema Ketidaklengkapannya yang terkenal pada tahun 1931, itu mengguncang dasar-dasar logika matematika: Dia menyangkal bahwa semua aksioma yang dapat diatur sebagai basis yang mungkin pasti tidak lengkap untuk membuktikan semua pernyataan tentang angka - dan menghancurkannya Impian Hilbert untuk membuktikan konsistensi teori matematika.
Pengenalan bilangan Gödel (pemetaan unik rumus ke bilangan asli) dan diagonalisasi (penggantian variabel bebas dalam fungsi dengan bilangan Gödel yang sesuai) adalah dua konsep sentral yang diperkenalkan Gödel dalam pembuktiannya. Gagasan pembuktian penting di mana Gödel menggabungkan konsep-konsep ini dapat ditulis sebagai berikut.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Karena \(P(p)\) tidak boleh salah (karena itu akan dapat dibuktikan dan oleh karena itu benar), \(P(p)\) benar dan oleh karena itu tidak dapat dibuktikan. Dengan demikian selalu ada kalimat yang benar dalam suatu bahasa (dengan pilihan aksioma apapun) yang tidak dapat dibuktikan. Di sini \(g\) Gödelization, \(p\) nomor Gödel dari predikat \(P\) , yang merupakan arketipe pelengkap \(\overline{B}^*\) dari \(B\) (himpunan semua Bilangan Godel dari semua proposisi yang dapat dibuktikan) di bawah fungsi diagonal \(d\) .
Untuk bacaan lebih lanjut , publikasi Gödel tahun 1931 dan artikel mendalam karya Stepan Parunashvili sangat direkomendasikan. Selain teorema ketidaklengkapan, Gödel juga memberikan kontribusi penting lainnya, termasuk ketidakmungkinan untuk membantah hipotesis kontinum Cantor dan argumen ontologis tentang keberadaan Tuhan dalam bahasa logika modal.