Ketika Kurt Gödel menerbitkan Teorema Ketidaklengkapannya yang terkenal pada tahun 1931, itu mengguncang dasar-dasar logika matematika: Dia menyangkal bahwa semua aksioma yang dapat diatur sebagai basis yang mungkin pasti tidak lengkap untuk membuktikan semua pernyataan tentang angka - dan menghancurkannya Impian Hilbert untuk membuktikan konsistensi teori matematika.
Pengenalan bilangan Gödel (pemetaan rumus yang tidak ambigu ke bilangan asli) dan diagonalisasi (penggantian variabel bebas dalam fungsi dengan bilangan Gödel masing-masing) adalah dua konsep utama yang diperkenalkan Gödel dalam pembuktiannya. Bukti yang menentukan di mana Gödel menggabungkan konsep-konsep ini dapat dituliskan sebagai berikut:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Karena \(P(p)\) tidak boleh salah (karena itu akan dapat dibuktikan dan oleh karena itu benar), \(P(p)\) benar dan oleh karena itu tidak dapat dibuktikan. Dengan demikian selalu ada kalimat yang benar dalam suatu bahasa (dengan pilihan aksioma apapun) yang tidak dapat dibuktikan. Di sini \(g\) Gödelization, \(p\) nomor Gödel dari predikat \(P\) , yang merupakan arketipe pelengkap \(\overline{B}^*\) dari \(B\) (himpunan semua Bilangan Godel dari semua proposisi yang dapat dibuktikan) di bawah fungsi diagonal \(d\) .
Untuk bacaan lebih lanjut, kami merekomendasikan publikasi Gödel tahun 1931 dan artikel yang banyak dibaca oleh Stepan Parunashvili . Selain teorema ketidaklengkapan, Gödel membuat pencapaian terobosan lainnya, termasuk tak terbantahkannya hipotesis kontinum Cantor dan bukti ontologis tentang Tuhan dalam bahasa logika modal.