Khi Kurt Gödel xuất bản Định lý không đầy đủ nổi tiếng của mình vào năm 1931, nó đã làm lung lay nền tảng của logic toán học: ông bác bỏ rằng tất cả các tiên đề có thể được thiết lập như một cơ sở có thể chắc chắn là không đầy đủ để chứng minh tất cả các phát biểu về số - và phá hủy điều đó Giấc mơ của Hilbert để chứng minh tính nhất quán của lý thuyết toán học.
Việc giới thiệu các số Gödel (ánh xạ duy nhất của các công thức sang các số tự nhiên) và phép chéo hóa (thay thế biến tự do trong hàm số bằng số Gödel tương ứng) là hai khái niệm trung tâm mà Gödel đưa ra trong chứng minh của mình. Ý tưởng chứng minh quan trọng mà Gödel kết hợp các khái niệm này có thể được viết như sau.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Vì \(P(p)\) không thể sai (vì nếu không nó sẽ có thể chứng minh và do đó đúng), \(P(p)\) đúng và do đó không thể chứng minh. Vì vậy, luôn luôn có một câu đúng trong một ngôn ngữ (với bất kỳ lựa chọn tiên đề nào) mà không thể được chứng minh. Ở đây \(g\) Gödelization, \(p\) là số Gödel của vị từ \(P\) , là kiểu mẫu bổ sung \(\overline{B}^*\) của \(B\) (tập hợp tất cả Số Godel của tất cả các mệnh đề có thể chứng minh được) trong hàm đường chéo \(d\) .
Để tìm hiểu thêm , nên tham khảo ấn phẩm năm 1931 của Gödel và bài viết sâu sắc của Stepan Parunashvili . Bên cạnh các định lý về tính bất toàn, Gödel còn có những đóng góp đột phá khác, bao gồm tính không thể bác bỏ của giả thuyết liên tục của Cantor và lập luận bản thể học về sự tồn tại của Chúa trong ngôn ngữ logic modal.