När Kurt Gödel publicerade sina berömda ofullständighetssatser 1931 skakade det grunden för matematisk logik: Han avvisade att alla axiom som kan ställas in som en möjlig grund oundvikligen är ofullständiga för att bevisa alla uttalanden om tal - och förstörde det Hilberts dröm att bevisa konsistensen i matematisk teori.
Introduktionen av Gödel-tal (den unika kartläggningen av formler till naturliga tal) och diagonalisering (ersättning av den fria variabeln i funktioner med deras respektive Gödel-nummer) är två centrala begrepp som Gödel introducerar i sitt bevis. Den avgörande bevisidén där Gödel kombinerar dessa begrepp kan skrivas ned på följande sätt:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Eftersom \(P(p)\) inte kan vara falskt (eftersom det annars skulle vara bevisbart och därmed sant \(P(p)\) sant och därför inte bevisbart. Således finns det alltid en sann mening i ett språk (med val av axiom) som inte kan bevisas. Här \(g\) Gödelization, \(p\) Gödel-numret för predikatet \(P\) , vilket är den kompletterande arketypen \(\overline{B}^*\) av \(B\) (uppsättningen av alla Godelnummer för alla bevisbara propositioner) under diagonalfunktionen \(d\) .
För vidare läsning rekommenderar vi Gödels publikation från 1931 och den väl lästa artikeln av Stepan Parunashvili . Utöver ofullständighetens teorier gjorde Gödel andra banbrytande framgångar, inklusive Cantors kontinuumhypotes oåterkalleliga och det ontologiska beviset på Gud på modalogikens språk.