När Kurt Gödel publicerade sina berömda ofullständighetssatser 1931 skakade det grunden för matematisk logik: Han avvisade att alla axiom som kan ställas in som en möjlig grund oundvikligen är ofullständiga för att bevisa alla uttalanden om tal - och förstörde det Hilberts dröm att bevisa konsistensen i matematisk teori.
Införandet av Gödeltal (den unika avbildningen av formler till naturliga tal) och diagonalisering (ersättningen av den fria variabeln i funktioner med dess respektive Gödeltal) är två centrala begrepp som Gödel introducerar i sitt bevis. Den avgörande bevisidén där Gödel kombinerar dessa begrepp kan skrivas enligt följande.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Eftersom \(P(p)\) inte kan vara falskt (eftersom det annars skulle vara bevisbart och därmed sant \(P(p)\) sant och därför inte bevisbart. Således finns det alltid en sann mening i ett språk (med val av axiom) som inte kan bevisas. Här \(g\) Gödelization, \(p\) Gödel-numret för predikatet \(P\) , vilket är den kompletterande arketypen \(\overline{B}^*\) av \(B\) (uppsättningen av alla Godelnummer för alla bevisbara propositioner) under diagonalfunktionen \(d\) .
För vidare läsning rekommenderas Gödels publikation från 1931 och Stepan Parunashvilis insiktsfulla artikel. Förutom ofullständighetsteoremen gjorde Gödel andra banbrytande bidrag, inklusive obestridligheten hos Cantors kontinuumhypotes och det ontologiska argumentet för Guds existens i modallogikens språk.