Gödels Meisterwerk

Als Kurt Gödel 1931 seine berühmten Unvollständigkeitssätze veröffentlichte, führte das zu einer Erschütterung der Grundlagen der mathematischen Logik: Er widerlegte, dass alle Axiome, die man als mögliche Grundlage aufstellen kann, unweigerlich unvollständig sind, um alle Aussagen über Zahlen zu beweisen – und zerstörte den Traum von Hilbert, die Widerspruchsfreiheit der mathematischen Theorie zu beweisen.


Die Einführung der Gödelnummern (die eindeutige Abbildung von Formeln auf natürlichen Zahlen) sowie die Diagonalisierung (die Ersetzung der freien Variable in Funktionen mit ihrer jeweiligen Gödelnummer) sind dabei zwei zentrale Konzepte, die Gödel in seinem Beweis einführt. Die entscheidende Beweisidee, in denen Gödel diese Konzepte kombiniert, lässt sich dabei wie folgt niederschreiben:

$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$

Da nun \(P(p)\) nicht falsch sein kann (da es sonst beweisbar und damit wahr wäre), muss \(P(p)\) wahr sein und damit nicht beweisbar. Damit gibt es in einer Sprache (bei beliebiger Wahl von Axiomen) stets einen wahren Satz, der nicht beweisbar ist. Dabei ist \(g\) die Gödelisierung, \(p\) die Gödelnummer des Prädikats \(P\), die das komplementäre Urbild \(\overline{B}^*\) von \(B\) (der Menge aller Gödelnummern aller beweisbaren Sätze) unter der Diagonalfunktion \(d\) charakterisiert.

Zur weiteren Lektüre empfiehlt sich Gödels Veröffentlichung von 1931 sowie der lesenswerte Artikel von Stepan Parunashvili. Neben der Unvollständigkeitssätze hat Gödel noch weitere bahnbrechende Errungenschaften geleistet, darunter die Unwiderlegbarkeit der Kontinuumshypothese von Cantor sowie der ontologische Gottesbeweis in der Sprache der Modallogik.

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