Amikor Kurt Gödel 1931-ben publikálta híres befejezetlenségi tételeit, az megrázta a matematikai logika alapjait: cáfolta, hogy minden lehetséges axióma, amelyet lehetséges alapként fel lehet állítani, elkerülhetetlenül hiányos a számokkal kapcsolatos állítások bizonyítása érdekében - és ezt megsemmisítette Hilbert álma, hogy bebizonyítsa a matematikai elmélet következetességét.
A Gödel-számok bevezetése (a képletek egyedi hozzárendelése a természetes számokhoz) és az átlósítás (a függvényekben lévő szabad változó helyettesítése a megfelelő Gödel-számmal) két központi fogalom, amelyet Gödel bevezet az igazolásába. A döntő bizonyítási ötlet, amelyben Gödel ötvözi ezeket a fogalmakat, az alábbiak szerint írható le:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Mivel a \(P(p)\) nem lehet hamis (mivel egyébként bizonyítható és ezért igaz), a \(P(p)\) igaznak és ezért nem bizonyíthatónak \(P(p)\) . Így mindig van egy igaz mondat egy nyelvben (bármilyen axiómaválasztással), amelyet nem lehet bizonyítani. Itt \(g\) a Gödelization, \(p\) a \(P\) predikátum Gödel száma, amely a \(B\) (az összes halmaza kiegészítő archetípusa \(\overline{B}^*\) Az összes bizonyítható tétel Godel-számai) az átlós függvény alatt \(d\) .
További olvasmányként Gödel 1931-es kiadványát és Stepan Parunashvili jól olvasható cikkét ajánljuk . A hiányosság tételei mellett Gödel más úttörő eredményeket is elért, többek között Cantor kontinuumhipotézisének megcáfolhatatlanságát és Isten ontológiai bizonyítását a modális logika nyelvén.