Cuando Kurt Gödel publicó sus famosos Teoremas de incompletitud en 1931, sacudió los fundamentos de la lógica matemática: refutó que todos los axiomas que pueden establecerse como una base posible son inevitablemente incompletos para probar todos los enunciados sobre números, y destruyó eso. El sueño de Hilbert de demostrar la coherencia de la teoría matemática.
La introducción de los números de Gödel (el mapeo inequívoco de fórmulas a números naturales) y la diagonalización (el reemplazo de la variable libre en funciones con su respectivo número de Gödel) son dos conceptos centrales que Gödel introduce en su demostración. La idea de prueba decisiva en la que Gödel combina estos conceptos se puede escribir de la siguiente manera:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Dado que \(P(p)\) no puede ser falso (ya que de otro modo sería demostrable y, por tanto, verdadero), \(P(p)\) verdadero y, por tanto, no demostrable. Por lo tanto, siempre hay una oración verdadera en un idioma (con cualquier elección de axiomas) que no se puede probar. Aquí \(g\) la Gödelización, \(p\) el número de Gödel del predicado \(P\) , que es el arquetipo complementario \(\overline{B}^*\) de \(B\) (el conjunto de todos Números de Godel de todas las proposiciones probables) bajo la función diagonal \(d\) .
Para leer más , recomendamos la publicación de Gödel de 1931 y el artículo bien leído de Stepan Parunashvili . Además de los teoremas de la incompletitud, Gödel logró otros logros innovadores, incluida la irrefutableidad de la hipótesis del continuo de Cantor y la prueba ontológica de Dios en el lenguaje de la lógica modal.