जब कर्ट गोडेल ने 1931 में अपनी प्रसिद्ध अपूर्णता संबंधी सिद्धांतों को प्रकाशित किया, तो इसने गणितीय तर्क की नींव हिला दी: उन्होंने मना किया कि संख्या के बारे में सभी बयानों को साबित करने के लिए सभी स्वयंसिद्धताओं को संभव आधार के रूप में स्थापित किया जा सकता है - और नष्ट कर दिया। गणितीय सिद्धांत की स्थिरता साबित करने के लिए हिल्बर्ट का सपना।
गोडेल संख्याएँ (सूत्रों का प्राकृतिक संख्याओं में अद्वितीय मानचित्रण) और विकर्णीकरण (फलनों में स्वतंत्र चर को उसकी संबंधित गोडेल संख्या से प्रतिस्थापित करना) दो प्रमुख अवधारणाएँ हैं जिन्हें गोडेल ने अपने प्रमाण में प्रस्तुत किया है। महत्वपूर्ण प्रमाण विचार जिसमें गोडेल ने इन अवधारणाओं को संयोजित किया है, उसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है।:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
चूँकि \(P(p)\) गलत नहीं हो सकता (चूँकि यह अन्यथा सिद्ध होगा और इसलिए सत्य होगा), \(P(p)\) _ \(P(p)\) सही \(P(p)\) और इसलिए सिद्ध नहीं \(P(p)\) । अतः भाषा में हमेशा एक सही वाक्य होता है (स्वयंसिद्ध किसी भी विकल्प के साथ) जिसे सिद्ध नहीं किया जा सकता है। यहाँ \(g\) _ \(g\) Gödelization है, \(p\) _ \(p\) Gödel की संख्या विधेय \(P\) _ \(P\) , जो कि पूरक का प्रतीक है \(\overline{B}^*\) \(B\) का \(B\) \(\overline{B}^*\) \(B\) (सभी का सेट \(B\) विकर्ण फ़ंक्शन \(d\) तहत सभी सिद्ध प्रस्तावों के गोडेल नंबर।
अधिक जानकारी के लिए , गोडेल का 1931 का प्रकाशन और स्टेपन परुनाश्विली का ज्ञानवर्धक लेख अनुशंसित हैं। अपूर्णता प्रमेयों के अलावा, गोडेल ने अन्य महत्वपूर्ण योगदान भी दिए, जिनमें कैंटर की निरंतरता परिकल्पना की अखंडनीयता और मोडल लॉजिक की भाषा में ईश्वर के अस्तित्व के लिए सत्तामीमांसीय तर्क शामिल हैं।