गोडेल की उत्कृष्ट कृति

जब कर्ट गोडेल ने 1931 में अपनी प्रसिद्ध अपूर्णता संबंधी सिद्धांतों को प्रकाशित किया, तो इसने गणितीय तर्क की नींव हिला दी: उन्होंने मना किया कि संख्या के बारे में सभी बयानों को साबित करने के लिए सभी स्वयंसिद्धताओं को संभव आधार के रूप में स्थापित किया जा सकता है - और नष्ट कर दिया। गणितीय सिद्धांत की स्थिरता साबित करने के लिए हिल्बर्ट का सपना।


गोडेल नंबरों का परिचय (प्राकृतिक नंबरों के लिए सूत्रों का अस्पष्ट मानचित्रण) और विकर्ण (अपने संबंधित गोडेल संख्या के साथ कार्यों में मुक्त चर का प्रतिस्थापन) दो केंद्रीय अवधारणाएं हैं जो गोडेल अपने प्रमाण में पेश करती हैं। निर्णायक सबूत विचार जिसमें गोडेल इन अवधारणाओं को जोड़ता है, उसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$

चूँकि \(P(p)\) गलत नहीं हो सकता (चूँकि यह अन्यथा सिद्ध होगा और इसलिए सत्य होगा), \(P(p)\) _ \(P(p)\) सही \(P(p)\) और इसलिए सिद्ध नहीं \(P(p)\) । अतः भाषा में हमेशा एक सही वाक्य होता है (स्वयंसिद्ध किसी भी विकल्प के साथ) जिसे सिद्ध नहीं किया जा सकता है। यहाँ \(g\) _ \(g\) Gödelization है, \(p\) _ \(p\) Gödel की संख्या विधेय \(P\) _ \(P\) , जो कि पूरक का प्रतीक है \(\overline{B}^*\) \(B\) का \(B\) \(\overline{B}^*\) \(B\) (सभी का सेट \(B\) विकर्ण फ़ंक्शन \(d\) तहत सभी सिद्ध प्रस्तावों के गोडेल नंबर।

आगे पढ़ने के लिए हम गोदेल के 1931 के प्रकाशन और स्टीफन परुनाश्विली द्वारा प्रकाशित लेख की सलाह देते हैं । अपूर्णता के प्रमेयों के अलावा, गोडेल ने अन्य जमीनी उपलब्धियों को हासिल किया, जिसमें कैंटर की निरंतरता परिकल्पना की अकाट्यता और मोडल लॉजिक की भाषा में ईश्वर के ऑन्कोलॉजिकल प्रमाण शामिल हैं

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