عندما نشر كيرت جودل نظرياته الشهيرة في عدم الاكتمال في عام 1931 ، فقد زعزعت أسس المنطق الرياضي: فقد دحض أن جميع البديهيات التي يمكن وضعها كأساس محتمل غير مكتملة حتمًا لإثبات جميع العبارات المتعلقة بالأرقام - ودمر ذلك حلم هلبرت بإثبات اتساق النظرية الرياضية.
إدخال أرقام Gödel (التعيين الواضح للصيغ للأرقام الطبيعية) والتقطير (استبدال المتغير الحر في الوظائف برقم Gödel الخاص بها) هما مفهومان مركزيان يقدمهما Gödel في برهانه. يمكن كتابة فكرة الإثبات الحاسمة التي يجمع فيها Gödel بين هذه المفاهيم على النحو التالي:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
نظرًا لأن \(P(p)\) لا يمكن أن يكون خطأ (لأنه يمكن إثباته بطريقة أخرى وبالتالي يكون صحيحًا) ، \(P(p)\) صحيحًا وبالتالي لا يمكن إثباته. وبالتالي ، هناك دائمًا جملة صحيحة في اللغة (مع أي اختيار للبديهيات) لا يمكن إثباتها. هنا \(g\) Gödelization ، \(p\) رقم Gödel للمسند \(P\) ، وهو النموذج الأصلي التكميلي \(\overline{B}^*\) لـ \(B\) (مجموعة الكل أرقام Godel لجميع القضايا التي يمكن إثباتها) تحت الوظيفة القطرية \(d\) .
لمزيد من القراءة ، نوصي بنشر Gödel لعام 1931 والمقال الذي تمت قراءته جيدًا بواسطة Stepan Parunashvili . بالإضافة إلى نظريات عدم الاكتمال ، حقق Gödel إنجازات رائدة أخرى ، بما في ذلك عدم دحض فرضية كانتور المتصلة والدليل الأنطولوجي لله في لغة المنطق النمطي.