عندما نشر كيرت جودل نظرياته الشهيرة في عدم الاكتمال في عام 1931 ، فقد زعزعت أسس المنطق الرياضي: فقد دحض أن جميع البديهيات التي يمكن وضعها كأساس محتمل غير مكتملة حتمًا لإثبات جميع العبارات المتعلقة بالأرقام - ودمر ذلك حلم هلبرت بإثبات اتساق النظرية الرياضية.
يُعدّ إدخال أعداد غودل (الربط الفريد بين الصيغ والأعداد الطبيعية) والقطرية (استبدال المتغير الحر في الدوال بعدد غودل الخاص به) مفهومين أساسيين قدّمهما غودل في برهانه. ويمكن صياغة فكرة البرهان المحورية التي يجمع فيها غودل هذين المفهومين على النحو التالي.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
نظرًا لأن \(P(p)\) لا يمكن أن يكون خطأ (لأنه يمكن إثباته بطريقة أخرى وبالتالي يكون صحيحًا) ، \(P(p)\) صحيحًا وبالتالي لا يمكن إثباته. وبالتالي ، هناك دائمًا جملة صحيحة في اللغة (مع أي اختيار للبديهيات) لا يمكن إثباتها. هنا \(g\) Gödelization ، \(p\) رقم Gödel للمسند \(P\) ، وهو النموذج الأصلي التكميلي \(\overline{B}^*\) لـ \(B\) (مجموعة الكل أرقام Godel لجميع القضايا التي يمكن إثباتها) تحت الوظيفة القطرية \(d\) .
للمزيد من القراءة ، يُنصح بالاطلاع على منشور غودل الصادر عام ١٩٣١ ومقال ستيبان باروناشفيلي القيّم. إلى جانب نظريات عدم الاكتمال، قدّم غودل إسهامات رائدة أخرى، منها عدم إمكانية دحض فرضية كانتور المتصلة، والحجة الأنطولوجية لوجود الله بلغة المنطق الموجه.