1931-жылы Курт Годель өзүнүн белгилүү "Толуксуздук Теоремаларын" жарыялаганда, математикалык логиканын негиздерин солкулдаткан: Ал мүмкүн болгон негиз катары орнотула турган бардык аксиомалардын сөзсүз түрдө толук эмес экендигин четке каккан - жана аны жок кылган Математикалык теориянын ырааттуулугун далилдөө Гилберттин кыялы.
Гёдел сандарын киргизүү (формулаларды натуралдык сандарга уникалдуу түрдө чагылдыруу) жана диагоналдаштыруу (функциялардагы эркин өзгөрмөнү тиешелүү Гёдел саны менен алмаштыруу) – бул Гёдел өзүнүн далилдөөсүндө киргизген эки негизги түшүнүк. Гёдел бул түшүнүктөрдү бириктирген маанилүү далилдөө идеясын төмөнкүдөй жазууга болот.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\) жалган болушу мүмкүн эмес (башкача далилденген жана демек, чын), \(P(p)\) чын \(P(p)\) , андыктан далилденбеши керек. Ошентип, тилде ар кандай аксиомалар менен далилденбей турган чыныгы сүйлөм бар. Бул жерде \(g\) \(B\) (баарынын жыйындысы \(B\) \(\overline{B}^*\) архетип болуп саналган \(P\) предикаттын \(p\) Годел саны, \(d\) диагонал функциясы астында бардык далилденген сунуштардын Годель сандары \(d\) .
Көбүрөөк окуу үчүн Гөделдин 1931-жылы басылып чыккан макаласы жана Степан Парунашвилинин терең ой жүгүрткөн макаласы сунушталат. Толук эместик теоремаларынан тышкары, Гөдел Кантордун континуум гипотезасынын талашсыздыгы жана Кудайдын бар экендиги жөнүндөгү онтологиялык аргумент сыяктуу башка новатордук салымдарды кошкон.