1931-жылы Курт Годель өзүнүн белгилүү "Толуксуздук Теоремаларын" жарыялаганда, математикалык логиканын негиздерин солкулдаткан: Ал мүмкүн болгон негиз катары орнотула турган бардык аксиомалардын сөзсүз түрдө толук эмес экендигин четке каккан - жана аны жок кылган Математикалык теориянын ырааттуулугун далилдөө Гилберттин кыялы.
Gödel сандарынын киргизилиши (формулалардын натуралдык сандарга болгон уникалдуу картага түшүрүлүшү) жана диагоналдаштыруу (функциялардагы эркин өзгөрүлмөнүн алардын тиешелүү Gödel номери менен алмаштырылышы) - Годель өз далилинде киргизген эки борбордук түшүнүк. Годель бул түшүнүктөрдү айкалыштырган чечүүчү далил идеясын төмөндөгүдөй жазууга болот:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\) жалган болушу мүмкүн эмес (башкача далилденген жана демек, чын), \(P(p)\) чын \(P(p)\) , андыктан далилденбеши керек. Ошентип, тилде ар кандай аксиомалар менен далилденбей турган чыныгы сүйлөм бар. Бул жерде \(g\) \(B\) (баарынын жыйындысы \(B\) \(\overline{B}^*\) архетип болуп саналган \(P\) предикаттын \(p\) Годел саны, \(d\) диагонал функциясы астында бардык далилденген сунуштардын Годель сандары \(d\) .
Андан ары окуу үчүн Гөделдин 1931-жылы жарык көргөн басылмасын жана Степан Парунашвилинин жакшы окулган макаласын сунуштайбыз . Толуксуздук теоремаларынан тышкары, Гедель дагы башка жаңычыл ийгиликтерге жетишкен, анын ичинде Кантордун үзгүлтүксүз гипотезасынын четке кагылбашы жана модалдык логиканын тилинде Кудайдын онтологиялык далили бар .