هنگامی که کورت گودل قضیه معروف ناتمامی خود را در سال 1931 منتشر کرد ، این پایه های منطق ریاضی را متزلزل کرد: رویای هیلبرت برای اثبات سازگاری نظریه ریاضی.
معرفی اعداد گودل (نگاشت منحصر به فرد فرمول ها به اعداد طبیعی) و مورب سازی (جایگزینی متغیر آزاد در توابع با شماره گودل مربوطه) دو مفهوم اصلی هستند که گودل در اثبات خود معرفی می کند. ایده اثبات قاطع که گودل در آن ترکیبی از این مفاهیم است را می توان به شرح زیر نوشت:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
از آنجا که \(P(p)\) نمی تواند نادرست باشد (زیرا در غیر این صورت قابل اثبات است و بنابراین درست است) ، \(P(p)\) درست باشد و بنابراین قابل اثبات نیست. بنابراین همیشه یک جمله درست در یک زبان (با هر انتخاب بدیهی) وجود دارد که قابل اثبات نیست. در اینجا \(g\) Gödelization ، \(p\) شماره Gödel از گزاره \(P\) است که نمونه اولیه کهن الگوی \(\overline{B}^*\) از \(B\) (مجموعه همه اعداد گودل از تمام گزاره های قابل اثبات) در زیر تابع مورب \(d\) .
برای مطالعه بیشتر ما مقاله گودل در سال 1931 و مقاله خوب خوانده شده توسط استپان پاروناشویلی را توصیه می کنیم . علاوه بر قضیه های ناقص بودن ، گودل دستاوردهای پیشگامانه دیگری از جمله انکارناپذیر بودن فرضیه پیوستگی کانتور و اثبات هستی شناختی خداوند از زبان منطق معین را به دست آورد.