هنگامی که کورت گودل قضیه معروف ناتمامی خود را در سال 1931 منتشر کرد ، این پایه های منطق ریاضی را متزلزل کرد: رویای هیلبرت برای اثبات سازگاری نظریه ریاضی.
معرفی اعداد گودل (نگاشت منحصر به فرد فرمولها به اعداد طبیعی) و قطریسازی (جایگزینی متغیر آزاد در توابع با عدد گودل مربوطه) دو مفهوم محوری هستند که گودل در اثبات خود معرفی میکند. ایده اثبات مهمی که گودل در آن این مفاهیم را ترکیب میکند، میتواند به صورت زیر نوشته شود.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
از آنجا که \(P(p)\) نمی تواند نادرست باشد (زیرا در غیر این صورت قابل اثبات است و بنابراین درست است) ، \(P(p)\) درست باشد و بنابراین قابل اثبات نیست. بنابراین همیشه یک جمله درست در یک زبان (با هر انتخاب بدیهی) وجود دارد که قابل اثبات نیست. در اینجا \(g\) Gödelization ، \(p\) شماره Gödel از گزاره \(P\) است که نمونه اولیه کهن الگوی \(\overline{B}^*\) از \(B\) (مجموعه همه اعداد گودل از تمام گزاره های قابل اثبات) در زیر تابع مورب \(d\) .
برای مطالعه بیشتر ، نشریه گودل در سال ۱۹۳۱ و مقاله آموزنده استپان پاروناشویلی توصیه میشود. گودل علاوه بر قضایای ناتمامیت، مشارکتهای پیشگامانه دیگری نیز داشته است، از جمله ابطالناپذیری فرضیه پیوستار کانتور و استدلال هستیشناختی برای وجود خدا به زبان منطق موجهات.