கோடலின் தலைசிறந்த படைப்பு

கர்ட் கோடெல் தனது புகழ்பெற்ற முழுமையற்ற கோட்பாடுகளை 1931 இல் வெளியிட்டபோது, ​​அது கணித தர்க்கத்தின் அடித்தளங்களை உலுக்கியது: எண்களைப் பற்றிய அனைத்து அறிக்கைகளையும் நிரூபிக்க சாத்தியமான அடிப்படையாக அமைக்கக்கூடிய அனைத்து கோட்பாடுகளும் தவிர்க்க முடியாமல் முழுமையடையாது என்று அவர் மறுத்தார். கணிதக் கோட்பாட்டின் நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்க ஹில்பெர்ட்டின் கனவு.


கோடெல் எண்களின் அறிமுகம் (இயற்கையான எண்களுக்கான சூத்திரங்களின் தனித்துவமான மேப்பிங்) மற்றும் மூலைவிட்டமயமாக்கல் (அந்தந்த கோடெல் எண்ணுடன் செயல்பாடுகளில் இலவச மாறியை மாற்றுவது) கோடெல் தனது ஆதாரத்தில் அறிமுகப்படுத்தும் இரண்டு மையக் கருத்துக்கள். கோடெல் இந்த கருத்துக்களை இணைக்கும் தீர்க்கமான ஆதார யோசனை பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$

\(P(p)\) பொய்யாக இருக்க முடியாது என்பதால் (அது நிரூபிக்கக்கூடியது, எனவே உண்மை என்பதால்), \(P(p)\) உண்மையாக \(P(p)\) , எனவே நிரூபிக்க முடியாது. ஆகவே ஒரு மொழியில் எப்போதும் ஒரு உண்மையான வாக்கியம் உள்ளது (எந்தவொரு கோட்பாடும்) நிரூபிக்க முடியாது. இங்கே \(g\) கோடெலைசேஷன், \(p\) முன்னறிவிக்கப்பட்ட \(P\) இன் கோடெல் எண், இது \(B\) நிரப்புத் தொல்பொருள் \(\overline{B}^*\) \(B\) அனைத்தின் தொகுப்பு மூலைவிட்ட செயல்பாட்டின் கீழ் \(d\) கீழ் அனைத்து நிரூபிக்கக்கூடிய முன்மொழிவுகளின் கோடெல் எண்கள்.

மேலதிக வாசிப்புக்கு கோடலின் 1931 வெளியீடு மற்றும் ஸ்டீபன் பருணாஷ்விலியின் நன்கு படித்த கட்டுரை ஆகியவற்றை நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம். முழுமையற்ற கோட்பாடுகளுக்கு மேலதிகமாக, கேடலின் தொடர்ச்சியான கருதுகோளின் மறுக்கமுடியாத தன்மை மற்றும் மாதிரி தர்க்கத்தின் மொழியில் கடவுளின் ஆன்டாலஜிக்கல் ஆதாரம் உள்ளிட்ட பிற அற்புதமான சாதனைகளை கோடெல் செய்தார்.

மீண்டும்