கர்ட் கோடெல் தனது புகழ்பெற்ற முழுமையற்ற கோட்பாடுகளை 1931 இல் வெளியிட்டபோது, அது கணித தர்க்கத்தின் அடித்தளங்களை உலுக்கியது: எண்களைப் பற்றிய அனைத்து அறிக்கைகளையும் நிரூபிக்க சாத்தியமான அடிப்படையாக அமைக்கக்கூடிய அனைத்து கோட்பாடுகளும் தவிர்க்க முடியாமல் முழுமையடையாது என்று அவர் மறுத்தார். கணிதக் கோட்பாட்டின் நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்க ஹில்பெர்ட்டின் கனவு.
கோடெல் எண்களின் அறிமுகம் (சூத்திரங்களை இயல் எண்களுக்குத் தனித்துவமாகப் பொருத்துதல்) மற்றும் மூலைவிட்டமாக்கல் (சார்புகளில் உள்ள தன்னிச்சை மாறியை அதற்கே உரிய கோடெல் எண்ணால் மாற்றுதல்) ஆகியவை கோடெல் தனது நிரூபணத்தில் அறிமுகப்படுத்தும் இரண்டு மையக் கருத்துக்களாகும். கோடெல் இந்தக் கருத்துக்களை இணைக்கும் முக்கியமான நிரூபணக் கருத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\) பொய்யாக இருக்க முடியாது என்பதால் (அது நிரூபிக்கக்கூடியது, எனவே உண்மை என்பதால்), \(P(p)\) உண்மையாக \(P(p)\) , எனவே நிரூபிக்க முடியாது. ஆகவே ஒரு மொழியில் எப்போதும் ஒரு உண்மையான வாக்கியம் உள்ளது (எந்தவொரு கோட்பாடும்) நிரூபிக்க முடியாது. இங்கே \(g\) கோடெலைசேஷன், \(p\) முன்னறிவிக்கப்பட்ட \(P\) இன் கோடெல் எண், இது \(B\) நிரப்புத் தொல்பொருள் \(\overline{B}^*\) \(B\) அனைத்தின் தொகுப்பு மூலைவிட்ட செயல்பாட்டின் கீழ் \(d\) கீழ் அனைத்து நிரூபிக்கக்கூடிய முன்மொழிவுகளின் கோடெல் எண்கள்.
மேலதிக வாசிப்பிற்கு , கோடலின் 1931ஆம் ஆண்டு வெளியீடும் , ஸ்டீபன் பருனாஷ்விலியின் ஆழ்ந்த பார்வை கொண்ட கட்டுரையும் பரிந்துரைக்கப்படுகின்றன. முழுமையின்மைத் தேற்றங்களைத் தவிர, காண்டரின் தொடர் கருதுகோளின் மறுக்கமுடியாத தன்மை மற்றும் சாத்தியக்கூறு ஏரணத்தின் மொழியில் கடவுளின் இருப்பிற்கான இருப்பியல் வாதம் உள்ளிட்ட பிற புரட்சிகரமான பங்களிப்புகளையும் கோடல் செய்துள்ளார்.