Kiam Kurt Gödel publikigis siajn famajn Nekompletecajn Teoremojn en 1931, ĝi skuis la fundamentojn de matematika logiko: Li refutis, ke ĉiuj aksiomoj starigeblaj kiel ebla bazo estas neeviteble nekompletaj por pruvi ĉiujn asertojn pri nombroj - kaj detruis tion La sonĝo de Hilbert pruvi la konsekvencon de matematika teorio.
La enkonduko de Gödel-nombroj (la unika mapado de formuloj al naturaj nombroj) kaj diagonaligo (la anstataŭigo de la libera variablo en funkcioj kun ilia respektiva Gödel-nombro) estas du centraj konceptoj, kiujn Gödel enkondukas en sia pruvo. La decida pruva ideo, en kiu Gödel kombinas ĉi tiujn konceptojn, povas esti skribita jene:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Ĉar \(P(p)\) ne povas esti falsa (ĉar ĝi alie estus pruvebla kaj do vera), \(P(p)\) vera kaj do ne pruvebla. Do ĉiam estas vera frazo en lingvo (kun ia elekto de aksiomoj) nepruvebla. Jen \(g\) la Gödelization, \(p\) la Gödel-nombro de la predikato \(P\) , kiu estas la komplementa arketipo \(\overline{B}^*\) de \(B\) (la aro de ĉiuj Godel-nombroj de ĉiuj pruveblaj proponoj) sub la diagonala funkcio \(d\) .
Por plia legado ni rekomendas la publikigon de Gödel el 1931 kaj la artikolon de Stepan Parunaŝvili, kiu estas leginda. Aldone al la teoremoj de nekompleteco, Gödel faris aliajn novegajn atingojn, inkluzive la nerefuteblecon de la kontinua hipotezo de Cantor kaj la ontologian pruvon de Dio en la lingvo de modala logiko.