Markuu Kurt Gödel daabacay aragtiyadiisii dhammaystiranayd ee dhameystirnaanta 1931, wuxuu gilgiley aasaaska caqli gal xisaabeed: Wuxuu beeniyey in dhammaan axiomsyada loo dejin karo aasaas ahaan ay lama huraan tahay in la dhammaystiro si loo caddeeyo dhammaan bayaannada ku saabsan tirooyinka - waana burburiyey taas. Hilbert riyadiisa si loo caddeeyo isugeynta aragtida xisaabta.
Soo bandhigidda tirooyinka Gödel (khariidaynta gaarka ah ee qaacidooyinka tirooyinka dabiiciga ah) iyo kala-goynta (beddelka doorsoomaha xorta ah ee hawlaha iyadoo la adeegsanayo lambarkiisa Gödel) waa laba fikradood oo dhexe oo Gödel ku soo bandhigay caddayntiisa. Fikradda caddaynta muhiimka ah ee Gödel ku darayso fikradahan waxaa loo qori karaa sidan soo socota.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Maaddaama \(P(p)\) been noqon karin (maadaama ay si kale u noqon lahayd wax la aqbali karo oo sidaas run ku ah), \(P(p)\) run \(P(p)\) oo sidaa darteed aan la yeelin. Sidaa darteed had iyo jeer waxaa jira xukun run ah oo luqad ah (oo leh xulasho kasta oo axioms ah) oo aan la caddeyn karin. Halkan \(g\) Gödelization, \(p\) lambarka Gödel ee saadaaliyaha \(P\) , taas oo ah aakhiro dhammaystiran oo dhameystiran \(\overline{B}^*\) ee \(B\) (set oo dhan Nambarada Godel ee dhammaan soo jeedinta la iska indha tiri karo) ee ku hoos jira shaqeynta \(d\) .
Akhris dheeraad ah , waxaa lagu talinayaa daabacaaddii Gödel ee 1931 iyo maqaalkii Stepan Parunashvili ee aragtida leh. Marka laga soo tago aragtiyaha aan dhammaystirnayn, Gödel wuxuu sameeyay waxyaabo kale oo horumar ah, oo ay ku jiraan shaki la'aanta mala-awaalka joogtada ah ee Cantor iyo doodda ontological ee jiritaanka Ilaah ee luqadda modal logic.