Όταν ο Kurt Gödel δημοσίευσε τα διάσημα θεωρήματά του για την έλλειψη πληρότητας το 1931, συγκλόνισε τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής: αντέκρουσε ότι όλα τα αξιώματα που μπορούν να δημιουργηθούν ως πιθανή βάση είναι αναπόφευκτα ελλιπή για να αποδείξουν όλες τις δηλώσεις σχετικά με τους αριθμούς - και το κατέστρεψαν Το όνειρο του Χίλμπερτ να αποδείξει τη συνέπεια της μαθηματικής θεωρίας.
Η εισαγωγή των αριθμών Gödel (η μοναδική αντιστοίχιση τύπων σε φυσικούς αριθμούς) και η διαγώνιωση (η αντικατάσταση της ελεύθερης μεταβλητής σε συναρτήσεις με τον αντίστοιχο αριθμό Gödel) είναι δύο κεντρικές έννοιες που εισάγει ο Gödel στην απόδειξή του. Η κρίσιμη ιδέα της απόδειξης στην οποία ο Gödel συνδυάζει αυτές τις έννοιες μπορεί να γραφτεί ως εξής.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Δεδομένου ότι το \(P(p)\) δεν μπορεί να είναι ψευδές (δεδομένου ότι διαφορετικά θα ήταν αποδείξιμο και επομένως αληθινό), \(P(p)\) αληθές και επομένως να μην είναι αποδεικτικό. Έτσι υπάρχει πάντα μια αληθινή πρόταση σε μια γλώσσα (με οποιαδήποτε επιλογή αξιώματος) που δεν μπορεί να αποδειχθεί. Εδώ \(g\) το Gödelization, \(p\) ο αριθμός Gödel του predikat \(P\) , που είναι το συμπληρωματικό αρχέτυπο \(\overline{B}^*\) του \(B\) (το σύνολο όλων Οι αριθμοί Godel όλων των αποδεδειγμένων προτάσεων) κάτω από τη διαγώνια συνάρτηση \(d\) .
Για περαιτέρω ανάγνωση , συνιστώνται η δημοσίευση του Gödel του 1931 και το διορατικό άρθρο του Stepan Parunashvili . Εκτός από τα θεωρήματα μη πληρότητας, ο Gödel έκανε και άλλες πρωτοποριακές συνεισφορές, όπως το αδιάσειστο της υπόθεσης του συνεχούς του Cantor και το οντολογικό επιχείρημα για την ύπαρξη του Θεού στη γλώσσα της τροπικής λογικής.