Kiedy Kurt Gödel opublikował swoje słynne twierdzenia o niezupełności w 1931 r., Zachwiał podstawami logiki matematycznej: obalił, że wszystkie aksjomaty, które można ustanowić jako możliwą podstawę, są nieuchronnie niekompletne, aby udowodnić wszystkie twierdzenia dotyczące liczb - i zniszczył to Marzenie Hilberta, aby udowodnić spójność teorii matematycznej.
Wprowadzenie liczb Gödela (jednoznaczne odwzorowanie formuł na liczby naturalne) i diagonalizacja (zastąpienie zmiennej swobodnej w funkcjach ich odpowiednią liczbą Gödla) to dwa główne pojęcia, które Gödel wprowadza w swoim dowodzie. Decydujący dowód, w którym Gödel łączy te koncepcje, można zapisać w następujący sposób:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Ponieważ \(P(p)\) nie może być fałszem (ponieważ w przeciwnym razie byłoby to możliwe do udowodnienia, a zatem prawdziwe), \(P(p)\) prawdziwe, a zatem niemożliwe do udowodnienia. W ten sposób zawsze istnieje prawdziwe zdanie w języku (z dowolnym wyborem aksjomatów), którego nie można udowodnić. \(g\) Gödelization, \(p\) liczba Gödela predykatu \(P\) , który jest uzupełniającym archetypem \(\overline{B}^*\) \(B\) (zbiór wszystkich Liczby Godla wszystkich dających się udowodnić twierdzeń) w funkcji diagonalnej \(d\) .
Do dalszej lektury polecamy publikację Gödla z 1931 roku oraz dobrze czytany artykuł Stepana Parunashvili . Oprócz twierdzeń o niekompletności Gödel dokonał innych przełomowych osiągnięć, w tym niepodważalności hipotezy kontinuum Cantora i ontologicznego dowodu istnienia Boga w języku logiki modalnej.