Quando Kurt Gödel pubblicò i suoi famosi Teoremi di incompletezza nel 1931, scosse le fondamenta della logica matematica: confutò che tutti gli assiomi che possono essere impostati come una possibile base sono inevitabilmente incompleti al fine di dimostrare tutte le affermazioni sui numeri e Il sogno di Hilbert di dimostrare la coerenza della teoria matematica.
L'introduzione dei numeri di Gödel (la mappatura unica delle formule ai numeri naturali) e la diagonalizzazione (la sostituzione della variabile libera nelle funzioni con il rispettivo numero di Gödel) sono due concetti centrali che Gödel introduce nella sua dimostrazione. L'idea di prova decisiva in cui Gödel combina questi concetti può essere scritta come segue:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Poiché \(P(p)\) non può essere falso (poiché altrimenti sarebbe dimostrabile e quindi vero), \(P(p)\) vero e quindi non dimostrabile. Quindi c'è sempre una frase vera in una lingua (con qualsiasi scelta di assiomi) che non può essere dimostrata. Qui \(g\) la Gödelization, \(p\) il numero di Gödel del predicato \(P\) , che è l'archetipo complementare \(\overline{B}^*\) di \(B\) (l'insieme di tutti Numeri di Godel di tutte le proposizioni dimostrabili) sotto la funzione diagonale \(d\) .
Per ulteriori letture consigliamo la pubblicazione di Gödel del 1931 e l'articolo di Stepan Parunashvili, che vale la pena leggere. Oltre ai teoremi di incompletezza, Gödel raggiunse altri risultati rivoluzionari, tra cui l'inconfutabilità dell'ipotesi del continuum di Cantor e la prova ontologica di Dio nel linguaggio della logica modale.