KurtGödelが1931年に彼の有名な不完全性定理を発表したとき、それは数学的論理の基礎を揺るがしました：彼は、可能な基礎として設定できるすべての公理は、数に関するすべてのステートメントを証明するために必然的に不完全であると反論しました-そしてそれを破壊しました数学理論の一貫性を証明するというヒルベルトの夢。
ゲーデル数（数式と自然数の一意的な対応関係）と対角化（関数の自由変数を対応するゲーデル数に置き換えること）は、ゲーデルが証明の中で導入した2つの中心的な概念である。ゲーデルがこれらの概念を組み合わせた重要な証明のアイデアは、次のように記述できる。:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\)は偽にすることはできないので（そうでなければ証明可能であり、したがって真であるため）、 \(P(p)\)真で\(P(p)\)ず、したがって証明できません。 したがって、証明できない言語（公理を選択した場合）には常に真の文があります。 \(g\) Gödelization、 \(p\)述語のGödel番号\(P\) 、これは\(B\) （すべてのセット\(B\)の補完的なアーキタイプ\(\overline{B}^*\)です対角関数\(d\)下のすべての証明可能な提案のゴデル数\(d\) 。
さらに詳しく知りたい場合は、ゲーデルの1931年の著作とステパン・パルナシュヴィリの洞察に満ちた論文をお勧めします。ゲーデルは不完全性定理の他にも、カントールの連続体仮説の反駁不可能性や様相論理を用いた神の存在論的証明など、画期的な貢献を数多く残しています。