KurtGödelが1931年に彼の有名な不完全性定理を発表したとき、それは数学的論理の基礎を揺るがしました：彼は、可能な基礎として設定できるすべての公理は、数に関するすべてのステートメントを証明するために必然的に不完全であると反論しました-そしてそれを破壊しました数学理論の一貫性を証明するというヒルベルトの夢。
ゲーデル数（式の自然数への一意のマッピング）の導入と対角化（関数内の自由変数をそれぞれのゲーデル番号に置き換える）は、ゲーデルが証明で紹介する2つの中心的な概念です。 ゲーデルがこれらの概念を組み合わせた決定的な証明のアイデアは、次のように書き留めることができます。:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\)は偽にすることはできないので（そうでなければ証明可能であり、したがって真であるため）、 \(P(p)\)真で\(P(p)\)ず、したがって証明できません。 したがって、証明できない言語（公理を選択した場合）には常に真の文があります。 \(g\) Gödelization、 \(p\)述語のGödel番号\(P\) 、これは\(B\) （すべてのセット\(B\)の補完的なアーキタイプ\(\overline{B}^*\)です対角関数\(d\)下のすべての証明可能な提案のゴデル数\(d\) 。
さらに読むには、 Gödelの1931年の出版物とStepanParunashviliによるよく読まれた記事をお勧めします。 不完全性の定理に加えて、ゲーデルは、カントールの連続体仮説の反駁不可能性やモーダルロジックの言語での神のオントロジー的証明など、他の画期的な成果を上げました。